Ньютона-Лейбница

Вычисление определенного интеграла, как предела интегральных сумм, сложно даже для простейших функций. Необходим простой способ вычисления определенных интегралов, минуя отыскание интегральных сумм и переход к пределу. Этот метод, основанный на связи определенного интеграла с вычислением первообразной, выражается формулой Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и F(x) –

любая первообразная для f(x) на . Тогда определенный инте-

грал от функции f(x) на равен приращению первообразной

F(x) на этом отрезке:

. (1)

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначения , то формулу Ньютона-Лейбница (1) можно переписать в виде: .

Читается формула (1) так: чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке , надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка : .

Замечание 1. Мы ввели понятие для случая . Его можно обобщить и на случай . Сделаем это так, чтобы формула Ньютона-Лейбница оставалась справедливой.

Положим, по определению, что для . (2)

Проверим справедливость формулы Ньютона-Лейбница:

.

Принимая во внимание (2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Эта формула имеет место и для : .

Замечание 2. Величина интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т.е. , а зависит лишь от вида подынтегральной функции и отрезка нтегрирования, поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычис­ления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог полу­чить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Эта фор­мула значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач ча­стного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений оп­ределенного интеграла.

Пример 1. Вычислить определенные интегралы: а) ; б) ;

в) .

Решение. а) .

б).

в) .