Замена переменной в определенном интеграле

Часто при вычислении определенного интеграла применяется метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на отрезке вместе со своей производной, где и . Тогда справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

. (6)

Замечания. 1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки (замены переменной) возвращаться к старой переменной не требуется. Достаточно лишь найти пределы интегрирования и по новой переменной t, решая относительно tуравнения и .

2. Часто вместо подстановки применяют подстановку .

Пример 3. Вычислить определенный интеграл:

.

Решение.

.