Реферат Курсовая Конспект
Геометрический смысл несобственного интеграла - Лекция, раздел Математика, Несобственные интегралы первого рода по неограниченному промежутку Если ...
|
Если , то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями , и осью абсцисс (рис. 1).
а) б)
Рис. 1
На рисунке 1 (а) представлен случай, когда - сходится, а в случае (б) – расходится.
2. Несобственные интегралы от разрывных функций (II рода)
Пусть функция непрерывна при , а в точке х = b имеет разрыв (рис. 2). В этом случае при любом разбиении отрезка на части функция f(х) будет неограниченной на последнем отрезке. Поэтому, если взять точку достаточно близко к точке b, то можно сделать произведение , а следовательно, и интегральную сумму , сколь угодно большими.
Рис. 2
Это значит, что интегральные суммы неограниченны и они не имеют конечного предела при стремлении шага разбиения к нулю, т.е. прежнее определение интеграла неприменимо.
Однако и в этом случае можно обобщить понятие интеграла.
Рассмотрим отрезок , где , на котором функция f(х) непрерывна.
Определение. Если существует конечный предел определенного интеграла
при , то этот предел называется несобствен-
ныминтегралом II родаот разрывной функции и обознача-
ется символом .
Следовательно, . (4)
Если предел, стоящий в правой части равенства (4) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же указанный предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если f(х ) разрывна в некоторой внутренней точке х = с
отрезка , то необходимо разбить этот отрезок на два: и .
Если несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом промежутке, то сумма этих интегралов, по определению, называется несобственным интегралом от функции f(х) на отрезке , т.е.
. (5)
Если хотя бы один из несобственных интегралов, стоящих в правой части равенства (5) не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Таким образом, из данных определений видно, что несобственный интеграл от разрывной функции является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла.
Пример 2. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: а) ; б).
Решение.
а) Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования , кроме точки х = 0, где она терпит разрыв второго рода. Тогда, по определению, имеем: . Следовательно, данный интеграл сходится.
б) Подынтегральная функция не существует, если . Так как х = 3 является внутренней точкой отрезка интегрирования , то согласно формуле (3), получаем:
.
Так как оба несобственных интеграла расходятся, то расходится и исходный интеграл.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ЛЕКЦИЯ... НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ... ПЛАН...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрический смысл несобственного интеграла
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов