Определение вида приближённого уравнения регрессии

 

 

В общем случае необходимо анализировать графики зависимостей экспериментальных данных выходных переменных y от входных x и по их виду выбирать конкретную форму функциональной зависимости (3).

 

 

Преобразование системы координат y – x даёт возможность выбрать оптимальный вид функциональной зависимости (3).

 

 

Для случая одной входной переменной х по опытным данным рекомендуется построить эмпирическую линию регрессии (рис.1) и с её помощью выбирать конкретный вид функции (3).

 

 

Изображение эмпирической линии регрессии:

 

 

 

При этом весь диапазон изменения x (рис.1) разбивается на s равных интервалов Δx. Все точки, попавшие в данный интервал Δx_j , относят к его середине x_j^* . После этого подсчитывают частные средние y_j^* для каждого интервала:

 

 

 

где n_j – число точек в интервале Δx_j.

 

 

В результате объём выборки определяется по формуле:

 

 

 

Эмпирическая линия регрессии y по x получается в виде ломанной линии путём последовательного соединения отрезками прямой линии точек:

 

 

 

При выборе вида функции (3) для случая нескольких входных переменных

 

 

может быть применён метод Брандона, который здесь не рассматривается.

 

 

В общем случае различают два вида уравнений регрессии (эмпирических моделей) – нелинейные по параметрам , статистический анализ которых осуществляется методом «нелинейной регрессии» и линейные по параметрам , статистический анализ которых проводится методом «линейной регрессии».

 

 

Линейные по параметрам модели могут быть представлены в следующем виде:

 

 

 

где - линейные или нелинейные функции входных переменных ().

 

 

Определение параметров (коэффициентов) линейных моделей и их регрессионный анализ существенно проще, чем для нелинейных моделей.

 

Поэтому нелинейные модели, по возможности, стараются линеаризовать и привести к виду (6).

 

 

Частными случаями уравнения линейной регрессии являются:

 

• полиномиальная регрессия, когда

 

 

 

и её разновидности – линейная регрессия от одной переменной ( m=1 ):

 

 

 

и параболическая регрессия ( m=2 ):

 

 

 

• трансцендентная регрессия и её разновидности в виде зависимости показательного типа:

 

 

 

которая линеаризуется логарифмически:

 

 

 

и дробно-показательного типа:

 

 

 

которая также линеаризуется логарифмически:

 

 

 

• множественная регрессия, когда число входных переменных больше 1: