Постановка задачи оптимизации.

Оптимизация – это процедура нахождения наилучших условий проведения химического процесса.

 

Задача оптимизации рассматривается как математическая задача поиска экстремального значения функции многих переменных.

 

Формулировка задачи оптимизации для многих переменных:

 

Необходимо найти такие значения оптимизирующих переменных (ресурсов оптимизации) из допустимой области их определения , которые обеспечивают экстремальную (наибольшую или наименьшую) величину критерия оптимальности.

 

В результате задачу оптимизации можно представить в следующим виде:

 

 

 

Связь выходных переменных с другими переменными задаётся отображением с физико-химическим оператором:

 

 

 

 

где входные переменные , определяющие состояние моделируемого объекта, разбиваются на две группы переменных: - оптимизирующие переменные, которые можно контролировать и регулировать и - контролируемые, но не регулируемые переменные (не могут использоваться как ресурсы оптимизации).

 

В результате задача оптимизации представляется в следующем виде:

 

 

 

На оптимизирующие переменные и выходные переменные могут накладываться ограничения (возможность изменения переменных только в определённых пределах).

 

На практике выходные переменные при решении задачи оптимизации определяются либо из экспериментальных данных – экспериментально-статистический метод оптимизации, либо с помощью математических моделей процессов – численный метод оптимизации.

 

Математические модели в этом случае формализуются с помощью отображения с функциональным оператором:

 

 

 

 

Замена вектора выходных переменных на вектор оценок выходных переменных , полученных при расчёте по математической, модели позволяет рассматривать задачу оптимизации как математическую задачу поиска экстремума функции многих переменных на компьютере.

 

 

Задача: определение максимума функции R = R( u )

Результат решения: .

 

 

 

 

Пример:

 

Для последовательной реакции A → P → S , изменение концентраций компонентов которой представлено ниже на рисунке, можно сформулировать следующую задачу оптимизации: найти оптимальное время реакции ( t_opt ), при котором концентрация промежуточного продукта Р будет максимальной.

 

 

 

 

Для решения задачи оптимизации необходимо:

 

• сформировать критерий оптимальности ( R );

 

• выбрать оптимизирующие переменные( );

 

• реализовать конкретный метод определения экстремального значения критерия оптимальности ( численный или экспериментально-статистический ).

 

 

Критерий оптимальности является количественной характеристикой качества функционирования процесса.

 

Различают физико-химические (концентрация целевого продукта, примеси, выход продукта) и экономические (себестоимость, прибыль, рентабельность) критерии оптимальности.

 

Значение критерия оптимальности зависит от выходной переменной , рассчитываемой с помощью математической модели (численный метод оптимизации). Предполагается, что при оптимизации применяются математические модели, для которых предварительно решена задача идентификации. Соответственно коэффициенты модели не показаны в равенстве:

 

 

 

 

Если адекватную математическую модель процесса построить не удаётся, то значение выходной переменной в уравнении:

 

 

 

 

определяется из опытов (экспериментально-статистический метод оптимизации). В этом случае реализуется оптимальная стратегия проведения эксперимента (активный эксперимент).

 

Требования к критерию оптимальности:

 

• критерий оптимальности должен быть количественным
• критерий оптимальности должен быть единственным
• критерий оптимальности должен монотонно изменяться в зависимости от оптимизирующих переменных.

 

 

Таким образом, при выборе критерия оптимальности необходимо стремиться к тому, чтобы его функция была унимодальной с одним экстремумом и не содержала точек разрыва.