Движение к экстремуму методом крутого восхождения.

 

 

Движение к экстремуму осуществляется по направлению градиента (антиградиента) функции отклика у.

 

Вектор градиента определяет направление наискорейшего возрастания функции и для

равен:

 

 

где

 

 

- единичные векторы в направлении осей координат;

 

- проекции вектора градиента на оси координат

 

Для m = 2 движение методом крутого восхождения можно представить:

 

 

- центры планов эксперимента первого порядка (ПФЭ)

 

- центр плана эксперимента второго порядка (ОЦКП)

 

 

Последовательные координаты поиска экстремума в факторном пространстве определяются по формуле:

 

 

, где

 

h - задаваемый фактор шага по направлению вектора-градиента;

 

s - номер точки экспериментирования;

 

- движение к максимуму (+) или к минимуму (-);

 

Величина y здесь определяется из уравнения регрессии, которое является линейным относительно факторов и коэффициентов:

 

 

 

Это уравнение используется для локального описания поверхности отклика в областях, далёких от её экстремального значения.

 

Ограниченная область факторного пространства, где справедливо это уравнение регрессии, задаётся центром области – центром плана эксперимента:

 

 

 

и интервалом (точнее, полуинтервалом) варьирования факторов:

 

 

 

Для локальной области факторного пространства уравнение регрессии записывается с кодированными факторами:

 

 

где

 

 

В результате минимальному значению фактора соответствует z_j = -1, максимальному - z_j = 1, а центру плана эксперимента – точка с координатами z_j = 0, j = 1, …m

 

Коэффициенты уравнения регрессии с кодированными факторами отличаются от коэффициентов уравнения регрессии с натуральными значениями факторов x_j и определяются из полного факторного эксперимента (ПФЭ), проведённого в рассматриваемой ограниченной области.

 

Одним из таких свойств является свойство ротатабельности, которое характеризует равную предсказательную способность уравнения регрессии с кодированными факторами на одинаковом расстоянии от центра плана.

 

Для характеристики предсказательной способности уравнения регрессии используется оценка дисперсии выходной переменной , которая из-за статистической независимости коэффициентов и их одинаковой дисперсии в случае ПФЭ определяется по формуле:

 

 

где

 

- одинаковая для всех коэффициентов оценка дисперсии ,

 

 

где

 

n - число опытов ПФЭ

 

- дисперсия воспроизводимости выходной переменной у , определяемая по параллельным опытам

 

ρ² - квадрат расстояния из центра плана до рассматриваемой точки факторного пространства:

 

 

 

Величина, обратная , принимается за меру точности уравнения регрессии.

 

Точность уравнения для убывает пропорционально квадрату радиуса сферы ρ² и одинакова для всех эквидистантных точек.

 

Поэтому в факторном пространстве нельзя выделить ни одно предпочтительное направление, и вектор градиента ( )не хуже, в смысле предсказания величины выходной переменной у , чем любое другое направление.

 

Однако вектор-градиент ( ) характеризует направление наискорейшего возрастания функции у и в этом смысле движение по нему является наиболее предпочтительным.

 

Для определения координат вектора-градиента ( ) используется адекватное уравнение регрессии, полученное по результатам ПФЭ:

 

 

 

Задаётся фактор шага h , и из центра плана ПФЭ (- начальное приближение) выполняется шаг по градиенту в сторону экстремального значения функции отклика, определяются координаты нового центра плана в факторном пространстве - .

 

Здесь снова проводится ПФЭ, обрабатываются его результаты, вычисляется новое направление вектора-градиента:

 

 

 

по которому выполняется шаг

 

 

 

в сторону экстремума. Процедура последовательного экспериментирования продолжается до тех пор, пока не будет достигнута область, близкая к экстремальному значению функции отклика.

 

Близость почти стационарной области может быть установлена с помощью t – критерия Стьюдента путём оценки значимости различия между экспериментальными и расчётными величинами в центре плана.

 

 

 

 

 

Условие близости экстремума функции отклика имеет вид:

 

 

где

 

 

f_e = k – 1 - число степеней свободы

 

k - число параллельных опытов

 

β - заданная доверительная вероятность (обычно 0,95)