рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Предел и непрерывность функций нескольких переменных - Лекция, раздел Математика, Лекция 12. Функция нескольких переменных, её предел, непрерывность и дифференцируемость   Для Функции Двух (И Большего Числа) Переменных Вводится Понят...

 

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестности точки.

Определение 1:Множество всех точек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется e–окрестностью точки М0(х0; у0). Другими словами, e-окрестность точки М0 – это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом e.

 

Определение 2:Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=ƒ(х; у) при хх0 и уу0 (или, что то же самое, при М(х; у)→М0(х0; у0), если для любого є>0 существует d>0 такое, что для всех хх0 и уу0 и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство |ƒ(х; у)–А|<є. Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; в частности для функции одной переменной хх0 по двум направлениям: справа и слева).

 

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число e>0, найдется d–окрестность точки М0(х0; у0), что во всех её точках М(х; у), отличных от М0(х0; у0), аппликаты соответствующих точек поверхности z=ƒ(х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на e.

 

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ(М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ(Мg(M), ƒ(Мg(М), ƒ(М)/g(М), имеют в точке М0 пределы, которые соответственно равны А±В, А·В, A/B (В≠0).

 

Определение 3:Функция z=ƒ(х; у) (или f(М)) называется непрерывной в точке М0(х0; у0), если она:

а) определена в этой точке и некоторой её окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.:

 

Определение 4:Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х; у) могут образовывать целые линии разрыва. Например, функция имеет линию разрыва у=х.

 

Можно дать другое, равносильное приведённому выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х; у) в точке.

 

Определение 5:Обозначим Δх=хх0, Δу=уу0, Δz=ƒ(х; у)–ƒ(х0; у0). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz – полным приращением функции ƒ(х; у) в точке М0(х0; у0).

 

Определение 6:Функция z=ƒ(х; у) называется непрерывной в точке М0(х0; у0D, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.

 

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах — арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 12. Функция нескольких переменных, её предел, непрерывность и дифференцируемость

Лекция Функция нескольких переменных е предел непрерывность и... Понятие функции нескольких переменных При рассмотрении функций...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие функции нескольких переменных
  При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного чи

Полное и частные приращение функции
  Определение 1:Обозначим Δх=х–х0, Δу=у–у0. Величины Δх и Δу

Частные производные
  Частные производные первого порядка:   Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в области D и (х

Дифференцируемость и дифференциал функции
  Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0; у0). Составим полное п

Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть имеется поверхность, заданная уравнением F(x; y; z)=0. Определение 1: Плоскость, в которой расположены все касательные

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги