Реферат Курсовая Конспект
Предел и непрерывность функций нескольких переменных - Лекция, раздел Математика, Лекция 12. Функция нескольких переменных, её предел, непрерывность и дифференцируемость Для Функции Двух (И Большего Числа) Переменных Вводится Понят...
|
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введём понятие окрестности точки.
Определение 1:Множество всех точек М(х; у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству называется e–окрестностью точки М0(х0; у0). Другими словами, e-окрестность точки М0 – это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом e.
Определение 2:Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой окрестности точки М0(х0; у0), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=ƒ(х; у) при х→х0 и у→у0 (или, что то же самое, при М(х; у)→М0(х0; у0), если для любого є>0 существует d>0 такое, что для всех х≠х0 и у≠у0 и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство |ƒ(х; у)–А|<є. Записывают:
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; в частности для функции одной переменной х→х0 по двум направлениям: справа и слева).
Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем: каково бы ни было число e>0, найдется d–окрестность точки М0(х0; у0), что во всех её точках М(х; у), отличных от М0(х0; у0), аппликаты соответствующих точек поверхности z=ƒ(х; у) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на e.
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции ƒ(М) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы А и В соответственно, то и функции ƒ(М)±g(M), ƒ(М)·g(М), ƒ(М)/g(М), имеют в точке М0 пределы, которые соответственно равны А±В, А·В, A/B (В≠0).
Определение 3:Функция z=ƒ(х; у) (или f(М)) называется непрерывной в точке М0(х0; у0), если она:
а) определена в этой точке и некоторой её окрестности,
б) имеет предел ,
в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.:
Определение 4:Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х; у) могут образовывать целые линии разрыва. Например, функция имеет линию разрыва у=х.
Можно дать другое, равносильное приведённому выше, определение непрерывности функции z=ƒ(х; у) в точке.
Определение 5:Обозначим Δх=х–х0, Δу=у–у0, Δz=ƒ(х; у)–ƒ(х0; у0). Величины Δх и Δу называются приращениями аргументов х и у, а Δz – полным приращением функции ƒ(х; у) в точке М0(х0; у0).
Определение 6:Функция z=ƒ(х; у) называется непрерывной в точке М0(х0; у0)ÎD, если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах — арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекция Функция нескольких переменных е предел непрерывность и... Понятие функции нескольких переменных При рассмотрении функций...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов