Экстремум функции нескольких переменных

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой области D, точка M₀(x₀; y₀)ÎD.

Определение 1:Точка M₀(x₀; y₀) называется точкой строгого (нестрогого) локального максимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая e-окрестность точки M₀(x₀; y₀), что для каждой точки М(х; у), отличной от M₀(x₀; y₀), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х; у)<ƒ(x₀; y₀) (ƒ(х; у)£ƒ(x₀; y₀)).

Определение 2:Точка M₀(x₀; y₀) называется точкой строгого (нестрогого) локального минимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая e-окрестность точки M₀(x₀; y₀), что для каждой точки М(х; у), отличной от M₀(x₀; y₀), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х; у)>ƒ(x₀; y₀) (ƒ(х; у)³ƒ(x₀; y₀)).

Определение 3:Точки строгого (нестрогого) максимума и точки строгого (нестрогого) минимума называется точками экстремума функции.

Определение 4:Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют её экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке M₀(x₀; y₀) сравнивается со всеми её значениями в точках, достаточно близких к M₀(x₀; y₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.