Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.
Пусть функция z=ƒ(х; у) определена в некоторой области D, точка M0(x0; y0)ÎD.
Определение 1:Точка M0(x0; y0) называется точкой строгого (нестрогого) локального максимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая e-окрестность точки M0(x0; y0), что для каждой точки М(х; у), отличной от M0(x0; y0), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х; у)<ƒ(x0; y0) (ƒ(х; у)£ƒ(x0; y0)).
Определение 2:Точка M0(x0; y0) называется точкой строгого (нестрогого) локального минимума функции z=ƒ(х; у), если существует такая e-окрестность точки M0(x0; y0), что для каждой точки М(х; у), отличной от M0(x0; y0), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х; у)>ƒ(x0; y0) (ƒ(х; у)³ƒ(x0; y0)).
Определение 3:Точки строгого (нестрогого) максимума и точки строгого (нестрогого) минимума называется точками экстремума функции.
Определение 4:Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют её экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке M0(x0; y0) сравнивается со всеми её значениями в точках, достаточно близких к M0(x0; y0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.