Неопределённый интеграл. - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды Определение 1:Если Функция F(X) — П...
Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x)и обозначается символом
При этом функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx—подынтегральным выражением, а переменная х — переменной интегрирования.
Символ обозначает, таким образом, совокупность всех первообразных для функции f(x).
Восстановление функции по ее производной или, что то же, отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
В связи с понятием первообразной возникает вопрос: для каких функций существуют первообразные (а значит, и неопределённые интегралы).
Доказано любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную (следовательно, и неопределённый интеграл). В дальнейшем будем считать, что все функции, стоящие под знаком интеграла, непрерывны и формула имеет смысл.
В случае разрывной функции будем рассматривать ее интегрирование только в тех промежутках, в которых она непрерывна.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество (семейство) кривых, являющихся графиками первообразных y=F(x)+С. Если y=F(x) - какая-нибудь кривая, то все другие кривые получаются из неё параллельным сдвигом вдоль оси Оу.
Тема Интегралы... Лекция Первообразная и неопредел нный интеграл...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Неопределённый интеграл.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Первообразная
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1:
Свойства неопределённого интеграла.
Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени
Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование;
2) Метод подстановки;
3) Метод интегрирования по частям.
1) Непосредственное интегрирование.
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов.
Метод
Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции.
Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:
Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.
Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун
Подстановки Эйлера.
Интегралы вида:
рационализируются одной из подстановок Эйлера:
Определённый интеграл.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1
Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой
Интеграл функции, имеющей разрыв
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр
Понятие числового ряда.
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением
Лекция 5
§94 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I)
Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть
Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): а
Расположенного по степеням х
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд
Расположенного по степеням х-а
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u
Новости и инфо для студентов