Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х

 

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо вклю­чить оба конца, иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

 

Промежуток (-R, R) называется промежутком сходимости, положительное число R — радиусом схо­димости степенного ряда. Внутри этого промежутка ряд сходится, вне его расходится. Необходимо, также, исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Если степенной ряд сходит­ся только в точке х=0, то R=0. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности (R=¥).

Теорема 2. Радиус сходимости R степенного ряда равен пределу отношения при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует: