ЛНДУ II с постоянными коэффициентами. - Лекция, раздел Математика, Раздел 2. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды
АУ²+BУ¢+CУ=R(X), Где А,...
ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид: , где
- общее решение ЛОДУ II ау²+bу¢+cу=0;
- частное решение ЛНДУ II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)еkx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
· k – не является корнем характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk2+bk+c=0, то у*=хQ(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk2+bk+c=0, то у*=х2Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R(x)=еax(P1(x)cosbx+P2(x)sinbx) где P1(x) и P2(x) –многочлены соответственно степеней m1 и m2, и если:
· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=еax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=хеax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
.
Греческий алфавит
Aa
альфа
Nn
ню (ни)
Bb
бэта (бета)
Xx
кси
Gg
гамма
Oo
омикрон
Dd
дельта
Pp
пи
Ee
эпсилон (ипсилон)
Rr
ро
Zz
дзета
Ss
сигма
Hh
эта
Tt
тау
QqJ
тэта
Ffj
фи
Ii
йота
Cc
хи
Kk
каппа
Uu
юпсилон (ипсилон)
Ll
ламбда (лямбда)
Yy
пси
Mm
мю (ми)
Ww
омега
Опр: Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
называется числовым рядом или просто рядом. Числа а1, а2, а3, ..., аn ... называются членами ряда, член аn с произвольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда S1=а1, S2=а1+а2, S3=а1+а2+а3,…, Sn=а1+а2+а3+…+аn,
называются частичными суммами ряда.
Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм S1, S2, S3, ..., Sn, ...
Опр: Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда. Это записывается так:
Опр: Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.
Тема Интегралы... Лекция Первообразная и неопредел нный интеграл...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ЛНДУ II с постоянными коэффициентами.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Первообразная
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1:
Неопределённый интеграл.
Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольн
Свойства неопределённого интеграла.
Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени
Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование;
2) Метод подстановки;
3) Метод интегрирования по частям.
1) Непосредственное интегрирование.
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов.
Метод
Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции.
Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:
Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.
Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун
Подстановки Эйлера.
Интегралы вида:
рационализируются одной из подстановок Эйлера:
Определённый интеграл.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1
Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой
Интеграл функции, имеющей разрыв
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр
Понятие числового ряда.
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением
Лекция 5
§94 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I)
Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть
Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): а
Расположенного по степеням х
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд
Расположенного по степеням х-а
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u
Новости и инфо для студентов