Тригонометрическая форма комплексного числа.

Итак, геометрическим изображением комплексного числа z=а+ib является вектор, начало которого в точке (0; 0), а конец в точке (а; b). Любой вектор имеет две характеристики: модуль и направление.

Длина вектора, изображающего комплексное число z, называется модулем (абсолютной величиной) комплексного числа и обозначается r=|z.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающего комплексное число z, называется аргументом комплексного числа и обозначается j=argz.

Тогда а=rcosj, b=rsinj, а следовательно, комплексное число z можно представить в форме: а+ib=rcosj+irsinj или z=r(cosj+isinj).

Определение 1:Выражение z=r(cosj+isinj), называется тригонометрической формой записикомплексного числа z=а+ib.

Величины r и j выражаются через а и b, очевидно, так:

Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчёта. Очевидно, что аргумент j определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2pk, где k — любое целое число.

Замечание:Сопряженные комплексные числа а+ib и а-ib имеют равные модули, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком.

Действительное число А так же может быть записано в тригонометрической форме комплексного числа, а именно:

A=|A|(cos0+isin0) при А>0,

A=|A|(cosp+isinp) при А<0.

Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: |0|=0. В качестве же аргумента нуля можно взять любой угол j. Действительно, для любого угла j имеет место равенство: 0=0(cosj+isinj).

Кроме алгебраической и тригонометрической форм комплексного числа имеет место показательная форма комплексного числа.

Определение 2:Выражение r·е^ij, называется показательной (экспоненциальной) формой записикомплексного числа z=а+ib; r называется модулем,комплексного числа z, j — аргументом комплексного числа z.

z=r(cosj+isinj)=r·е^ij.