рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Разложение многочлена на множители.

Разложение многочлена на множители. - Лекция, раздел Математика, Лекция 4. Многочлены Определение 1:Функция F(X)=A...

Определение 1:Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn-2+…+An-1x+An, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена.Здесь коэффициенты A0, A1, ..., Ап — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.

 

Определение 2:Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

 

Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f(x) на разность х-а получается остаток, равный f(a).

 

Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f(a)=0, то f(x) делится без остатка на х-а и, следовательно, представляется в виде произведения

f(x)=(x-a)f1(x), где f1(x) — многочлен.

Пример:

Разложим многочлен на множители: f(x)=x3-2x2+3x-2

Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.

x=1 – корень многочлена, так как f(1)=0.

x3-2x2+3x-2 | x-1

x3-x2 x2-x+2

-x2+3x-2

-x2+x

2x-2

2x-2

f(x)=x3-2x2+3x-2=(x-1)(x2-x+2)

 

Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х вида: f(x)=0, где f(x) – некоторая функция.

 

Определение 3:Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнемуравнения.

 

Определение 4:Если уравнение имеет вид Q(x)=0, где Q(x) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.

Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q(x)=0 те же, что и корни многочлена Q(x).

 

Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?

В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.

В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:

 

Теорема 2: (основная теорема алгебры).Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.

 

Теорема 3:Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида х-аи множитель, равный коэффициенту при хп.

или

Каждый многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения:

Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-аn),

где A0 — коэффициент при старшей степени многочлена Q(x), а а1, а2, …, аn - корни уравнения Q(x)=0.

 

Множители (x-а1), (x-а2), …, (x-аn) называются элементарными множителями.

 

Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.

Виды многочленов:

Многочлен n-ой степени А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn или Ахn+Вхn-1+…+2++W Примеры
Многочлен четвёртой степени Ах4+Вх3+Сх2++E 4-2х3+3х2+8, где А=-1; В=-2; С=3; D=0; E=8;
Многочлен третьей степени Ах3+Вх2+Сх+D 2х3-х2+4х, где А=2; В=-1; С=4; D=0;
Многочлен второй степени Ах2+Вх+С 2+4х-3, где А=-1; В=4; С=-3;
Многочлен первой степени Ах+В х+8, где А=1; В=8;
Многочлен нулевой степени А 1, где А=1.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 4. Многочлены

На сайте allrefs.net читайте: Лекция 4. Многочлены.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Разложение многочлена на множители.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Кратные корни многочлена.
Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-а

Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.
  Среди корней многочлена могут быть и комплексные. Теорема 1: Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэф

Разложение рациональной функции на элементарные дроби.
  Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе м

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги