Определение 1:Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn-2+…+An-1x+An, где п — целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от х; число п называется степенью многочлена.Здесь коэффициенты A0, A1, ..., Ап — действительные или комплексные числа; независимая переменная х также может принимать как действительные, так и комплексные значения.
Определение 2:Корнем многочлена называется такое значение переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.
Теорема 1 (теорема Безу): При делении многочлена f(x) на разность х-а получается остаток, равный f(a).
Следствие: Если а есть корень многочлена, т. е. f(a)=0, то f(x) делится без остатка на х-а и, следовательно, представляется в виде произведения
f(x)=(x-a)f1(x), где f1(x) — многочлен.
Пример:
Разложим многочлен на множители: f(x)=x3-2x2+3x-2
Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2.
x=1 – корень многочлена, так как f(1)=0.
x3-2x2+3x-2 | x-1
x3-x2 x2-x+2
-x2+3x-2
-x2+x
2x-2
2x-2
f(x)=x3-2x2+3x-2=(x-1)(x2-x+2)
Будем рассматривать уравнения с одним неизвестным х вида: f(x)=0, где f(x) – некоторая функция.
Определение 3:Всякое число (действительное или комплексное), которое, будучи подставлено в уравнение вместо х, обращает уравнение в тождество, называется корнемуравнения.
Определение 4:Если уравнение имеет вид Q(x)=0, где Q(x) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени п.
Из определения следует, что корни алгебраического уравнения Q(x)=0 те же, что и корни многочлена Q(x).
Вопрос: Всякое ли уравнение имеет корни?
В случае неалгебраического уравнения ответ отрицателен: существуют такие неалгебраические уравнения, которые не имеют ни одного корня — ни действительного, ни комплексного.
В случае алгебраического уравнения ответ положителен. Этот ответ дается основной теоремой алгебры:
Теорема 2: (основная теорема алгебры).Всякая целая рациональная функция f(x) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный. Эта теорема доказывается в высшей алгебре.
Теорема 3:Всякий многочлен n-й степени разлагается на n линейных множителей вида х-аи множитель, равный коэффициенту при хп.
или
Каждый многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения:
Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-аn),
где A0 — коэффициент при старшей степени многочлена Q(x), а а1, а2, …, аn - корни уравнения Q(x)=0.
Множители (x-а1), (x-а2), …, (x-аn) называются элементарными множителями.
Многочлен п-й степени не может иметь более чем п различных корней.
Виды многочленов:
| Многочлен n-ой степени | А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn или Ахn+Вхn-1+…+Uх2+Vх+W | Примеры |
| Многочлен четвёртой степени | Ах4+Вх3+Сх2+Dх+E | -х4-2х3+3х2+8, где А=-1; В=-2; С=3; D=0; E=8; |
| Многочлен третьей степени | Ах3+Вх2+Сх+D | 2х3-х2+4х, где А=2; В=-1; С=4; D=0; |
| Многочлен второй степени | Ах2+Вх+С | -х2+4х-3, где А=-1; В=4; С=-3; |
| Многочлен первой степени | Ах+В | х+8, где А=1; В=8; |
| Многочлен нулевой степени | А | 1, где А=1. |