Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители
Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-аn)
некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:
Q(x)=A0(x-а1)k1(x-а2) k2…(x-аm) km, где k1+k2+…+km=n и m£n.
В этом случае корень х=а1 называется корнем кратности k1 или k1-кратным корнем, х=а2 — корнем кратности k2 и т.д.
Например: 3·х5·(х+2)3·(х-1)2·(х-2)2·(х+5)
х=0 пятикратный корень; х=-2 трёхкратный корень; х=1 двукратный корень;
х=2 двукратный корень; х=-5 однократный корень.
Если многочлен имеет корень х=а кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.
Теорема 1:Всякий многочлен п-й степени имеет ровно п корней (действительных или комплексных).
Рассмотрим квадратный трёхчлен ах2+bx+c:
D>0 существует два различных действительных корня;
D=0 существует два совпавших действительных корня;
D<0 существует два различных комплексных (сопряжённых) корня.