Непрерывность функции в точке.

Пусть на некотором промежутке X определена функция f(x) и точка х₀ принадлежит этому промежутку.

Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

Это означает выполнение трёх условий:

1.) функция f(x) определена в точке х₀ и в её окрестности;

2.) функция f(x) имеет предел, при х®х₀;

3.) предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке.

Итак, при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение х₀.

Определение 2: «на языке последовательностей» Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности значений аргумента х: х₁, х₂, …, х_n, ..., сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функции f(x): f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), ..., сходится к f(x₀).

Определение 3: «на языке e-d» Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого e>0 существует d>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х—х₀|<d, выполняется неравенство |f(x)-f(x₀)|<e.

Определение 4: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ справа (слева) если односторонний предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.

Если функция непрерывна точке х₀ и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Из определения 1 следует следующее:

Определение 5: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Dх®0

Все определения непрерывности равносильны.

Теорема 1: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (последняя при g(х₀)¹0).

Теорема 2: (о непрерывности сложной функции) Пусть функция z=j(x) непрерывна в точке х₀, а функция y=f(z) непрерывна в точке z₀=j(х₀). Тогда сложная функция у=f[j(х)] непрерывна в точке х₀.