рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Геометрический, физический и экономический смысл производной функции.

Геометрический, физический и экономический смысл производной функции. - Лекция, раздел Математика, Лекция 8. Производная функции Геометрический Смысл Производной. Пусть Функция ...

Геометрический смысл производной. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (а, b) и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента х0, а точка Р - значению х0+Dх. Проведем через точки М и Р прямую и назовем её секущей. Обозначим через j(Dх) угол между секущей и положительным направлением оси Ох. Очевидно, что этот угол зависит от Dх.

Если существует , то прямую с угловым коэффициентом k=tgj0, проходящую через точку М(х0; f(x0)) называют предельным положением секущей МР при Dх®0 (или при Р®М).

 

Определение 1: Касательной S к графику функции у=f(x) в точке М называется предельное положение секущей МР при Dх®0 (или при Р®М).

 

Итак, производная функции y=f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке М(х0; f(x0)) и равна тангенсу угла наклона касательной с положительным направлении оси абсцисс.

Физический смысл производной. Предположим, что функция y=f(x) описывает закон движения материальной точки М по прямой линии, т. е. у=f(х)-путь, пройденный точкой М от начала отсчёта за время х.

Тогда за время х0 пройден путь y=f(x0), а за время х1 - путь y=f(x1).

За промежуток времени Dх=x1-х0 точка М пройдёт отрезок пути Dy=f(x1)-f(x0)=f(x0+Dх)-f(x0).

Отношение Dу/Dх называется средней скоростью движения (vср) за время Dх, а предел отношения Dу/Dх при Dх®0 определяет мгновенную скорость точки в момент времени х0 (vмгн).

 

Экономический смысл производной. Предположим, что функция y=f(x) описывает количество произведённой продукции за время х.

Тогда за время х0 произведено продукции y=f(x0), а за время х1 - продукции y=f(x1).

За промежуток времени Dх=x1-х0 будет произведено продукции Dy=f(x1)-f(x0)=f(x0+Dх)-f(x0).

Отношение Dу/Dх называется средней производительностью труда (zср) за время Dх, а предел отношения Dу/Dх при Dх®0 определяет мгновенную производительностью труда в момент времени х0 (zмгн).

Таким образом, производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

 

Рассмотрим ещё одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть Dх - прирост продукции, тогда Dy - приращение издержек производства и Dу/Dх - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Тогда производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины.

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Производная функции показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента.

 


§35 Таблица производных

Основные правила нахождения производных.

Производная суммы есть сумма производных
Производная разности есть разность производных
Производная произведения равна сумме произведений производной первого множителя на второй и первого множителя на производную второго
где С=cоnst Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Производная дроби равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя к квадрату знаменателя

Таблица производных и дифференциалов простейших элементарных функций.

Вид функции Производная Дифференциал
Степенная 1.)
Её следствия, или наиболее часто встречающиеся функции 2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
Показательная 7.)
Экспоненциальная 8.)
Логарифмическая 9.)
10.)
Тригонометрические 11.)
12.)
13.)
14.)
Обратные тригонометрические 15.)
16.)
17.)
18.)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 8. Производная функции

Лекция Производная функции Определение производной...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрический, физический и экономический смысл производной функции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Определение производной функции.
Приращение – это величина, на которую увеличивается переменная величина. Пусть на некотором промежутке X определена функция y=f(x). Проделаем следующие

Производная сложной и обратной функции.
Теорема (производная сложной функции): Если функция х=j(t) имеет производную в точке t

Производные высших порядков.
Производная f¢(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существо

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги