Производная сложной и обратной функции.

Теорема (производная сложной функции): Если функция х=j(t) имеет производную в точке t₀, а функция y=f(x) имеет производную в соответствующей точке х₀=j(t₀), то сложная функция f(j(t)) имеет производную в точке t₀, и имеет место следующая формула: y¢(t₀)=f¢(x₀)j¢(t₀).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производных от функций, её составляющих.

 

Теорема (производная обратной функции): Если функция y=f(x) строго монотонна на интервале (а; b) и имеет неравную нулю производную y¢=f¢(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=j(у) также имеет производную х¢=j¢(у) в соответствующей точке, определяемую равенством или .

Таким образом, производные от взаимно обратных функций обратны по величине.