Дифференциалы высших порядков.

Определение 1: Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка, тогда её дифференциал dy=f¢(х)dх, назовём дифференциалом первого порядка.

Итак, dy является функцией двух переменных: аргумента х и его дифференциала dx.

Пусть функция f¢(х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке х. Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента х и её дифференциал в точке х имеет вид:

d(dy)=d[f¢(х)dх]=[f¢(х)dх]¢dх=f²(х)dxdx=f²(х)(dx)².

Определение 2: Дифференциал от дифференциала dy (обозначим, как d(dy)) в некоторой точке х, называется дифференциалом второго порядка функции f(х) в точке х и обозначается d²y, т. е.

d²y=f²(х)(dx)²

d²y=f²(х)dx².

Определение 3: Дифференциал от дифференциала d²y (обозначим, как d(d²y)) в некоторой точке х, называется дифференциалом третьего порядка функции f(х) в точке х и обозначается d³y, т. е.

d³y=f²¢(х)(dx)³

d³y=f²¢(х)dx³.

Определение 4:Дифференциал от дифференциала d^n-1y (обозначим, как d(d^n-1y)) в некоторой точке х, называется дифференциалом n-го порядка функции f(х) в точке х и обозначается dⁿy, т. е.

dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)(dx)ⁿ

dⁿy=f⁽ⁿ⁾(х)dxⁿ.

т. е. производную функции можно рассматривать как отношение её дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.