ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Итак, Dx = x – x0, Dy = f(x) – f(x0). Из равенства Dx = x – x0 получаем равенство x = x0 + Dx, тогда Dy = f(x0 + Dx) – f(x0). Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения… Производная обозначается (x0).

Решение

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и… . (*)

Производные некоторых элементарных функций

Для одной и той же функции f(x) производную можно вычислять в различных точках x, и ее значения будут зависеть от x, т.е. производная (x) будет… Итак, производная функция от функции f(x) по определению:

Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.

Теорема 1. Если функции u (x), v (x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).

Nbsp;   Доказательство

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Доказательство

    Аналогично, v(x + Dx) = v(x) + Dv.     Следствие. Постоянный множитель можно выносить… (C×f(x))' = C×(x).

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

1) ; 2) ; 3) ;

Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование

F(x, y) = 0, (2.1) причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция y задана неявно… Например, уравнение y3 – 5x2 – 3x = 0 задает неявно функцию y, которую можно из этого уравнения выразить через x явно:…

Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование

. (2.2) Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные… Если функция x = j(t) имеет обратную t = F(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(F(x)),…

Дифференциал функции

Dy = (x0)Dx + a×Dx. (2.7) При Dx ® 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно… Таким образом, приращение функции Dy состоит из двух слагаемых, из которых первое (x0)×Dx является главной…

Решение

2) Если x0 = 20, Dx = 0,1, то Dy = 40×0,1 + (0,1)2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4. Запишем равенство (2.7) в виде: Dy = dy + a×Dx. (2.9)

Производные и дифференциалы высших порядков

Итак, (x) = ((x))'. Производная от производной второго порядка называетсяпроизводной третьего… Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f…

Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Доказательство. Пусть f(x0) = M – наибольшее значение функции на (a, b). Покажем, что f'(x0) = 0. По определению производной = . Так как f(x0) – наибольшее значение, то при любом знаке Dx имеем f(x0 + Dx) – f(x0) £ 0. Отсюда, если Dx > 0,…

Правило Лопиталя

Теорема Лопиталя. (Раскрытие неопределенностей типа ) Пусть функции f(x), g(x) определены, непрерывны и дифференцируемы в точке x0 и… =. (2.18)

Формула Тейлора

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен Pn(x) степени n разложить по степеням разности (x – x0) (где x0 – некоторое число),… Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +...+ an(x – x0)n. (2.19) Вычислим коэффициенты: a0, a1, ..., an. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):

Возрастание и убывание функций

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем (x) > 0 для любого xÎ(a, b), то эта функция… Доказательство. Функция возрастает на [a, b], если "x1, x2Î[a,b] (x1 < x2 ®  f(x1) < f (x2)).

Экстремумы функции

Говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) <… Точка x0 называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки… Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба

Кривая, заданная функцией y = f(x), называется выпуклой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом… Кривая называется вогнутой на интервале (a, b), если все точки кривой лежат… Точка кривой M0(x0, f(x0)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Асимптоты

Асимптотой графика функции y = f(x) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки M на графике до этой прямой стремится к нулю при… С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов функции (глава 1).… Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они называются вертикальными асимптотами.