Реферат Курсовая Конспект
Производные и дифференциалы высших порядков - раздел Математика, ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Пусть Функция F(X) Определена И Дифференцируема На Некотором Пр...
|
Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядкафункции y = f(x) и обозначается: y'' или (x).
Итак, (x) = ((x))'.
Производная от производной второго порядка называетсяпроизводной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).
Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной
(n – 1)-го порядка и обозначается: y(n) или f (n)(x). Итак, f (n)(x) = (f (n-1)(x))'.
Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.
Пример 1. f (x) =. Найти (x) и (4).
Решение. = =, (x) = –, (x) = = ,
(4) = = = .
Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e3x.
Решение. y' = 3e3x, y'' = 3× 3e3x = 32e3x, y''' = 33e3x.
По аналогии находим: y(n) = 3ne3x.
Рассмотрим механический смысл второй производной.
Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой
S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение
DV = V(t + Dt) – V(t).
Отношение называется средним ускорением за время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:
a = , т.е. a = V'(t) = (S(t))' = S''(t).
Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S''(t).
Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.
Пусть y = f(x), xÎX. Дифференциал этой функции y = f'(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.
Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d2y или d2f(x).
Итак, d2y = d(dy), но dy= dx, поэтому
d2y = d(dx) = (dx)dx = (dx)2.
Будем вместо (dx)2 писать dx2.
Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d3y или d3f(x):
d3y = d(d2y) = d(dx2) = dx3 и т.д.
Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала
(n – 1)-го порядка dny = d(dn – 1y) = d(f (n – 1)(x)dxn – 1) = f (n)(x)dxn.
Итак, dny = f (n)(x)dxn. Отсюда f (n)(x) = .
Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо будем писать: , вместо пишем: .
Пример 3. Найти d3y для функции y = cos2x.
Решение. d3y = y'''dx3. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':
y' = (cos2x)' = –2cosxsinx = –sin2x, y'' = (–sin2x)' = –2cos2x, y''' = 4sin2x.
Следовательно, d3y = 4sin2xdx3.
Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.
Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями
, tÎT
(T – некоторый промежуток).
Найдем . Известно, что = = (разд.2.6), поэтому
= = = = .
Аналогично будут вычисляться и т.д.
Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:
, 0£ t £ p.
Найти .
Решение. = = = = –tgt;
= = = -= .
Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.
Пример 5. Найти , для функции, заданной неявно уравнением:
ey + xy = e. Вычислить y'(0), y''(0).
Решение. Найдем сначала y', как описано в в разд. 2.5:
(ey + xy)' = (e)', ey×y' + y + xy' = 0, y'(ey + x) = –y, y' = –.
Для нахождения y'' будем дифференцировать равенство ey×y' + y + xy' = 0, получим:
ey×(y')2 + ey×y'' + y' + y' + xy'' = 0, отсюда найдем y'', затем подставим найденное значение y': y''(ey + x) = –ey×(y')2 – 2y',
y'' = –= = =
= .
Итак, y' = –, y'' = . Подставим x = 0 в исходное уравнение ey + xy = e, получим: ey + 0×y = e, откуда y = 1, значит,
y(0) = 1; y'(0) = –; y''(0) = = .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Основные правила дифференцирования... Установим правила по которым можно находить производные суммы произведения... Теорема Если функции u x v x дифференцируемы в точке x то их сумма дифференцируема в этой точке причем...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производные и дифференциалы высших порядков
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов