Формула Тейлора

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен P_n(x) степени n разложить по степеням разности (x – x₀) (где x₀ – некоторое число), т.е. представить P_n(x) в виде:

P_n(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)² +...+ a_n(x – x₀)ⁿ. (2.19)

Вычислим коэффициенты: a₀, a₁, ..., a_n. Для этого найдем сначала производные от P_n(x):

(x) = a₁ + 2a₂(x – x₀) + 3a₃(x – x₀)² + ... + n×a_n(x – x₀)^n–1;

(x) = 2a₂ + 2×3a₃(x – x₀) + 3×4a₄(x – x₀)² + ... + (n – 1) ×n×a_n(x – x₀)^n–2;

(x) = 2×3×a₃ + 2×3×4a₄(x – x₀) + ... + (n – 2)(n – 1)×n×a_n(x – x₀)^n–3;

...; P_n⁽ⁿ⁾(x) = 1×2×...× (n – 1)×n×a_n; P_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0. (2.20)

Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x₀, получим:

P_n(x₀) = a₀, (x₀) = a₁, (x₀) = 2a₂, (x₀) = 2×3a₃, ..., P_n⁽ⁿ⁾(x₀) = 1×2×...(n – 1)×n×a_n,

откуда находим:

a₀ = P_n(x₀), a₁ = (x₀), a₂ = , a₃ = , ..., a_n = .

Подставляя найденные значения a₀, a₁, ..., a_n в равенство (2.19), получим разложение многочлена P_n(x) по степеням (x – x₀):

P_n(x) = P_n(x₀) + (x – x₀) + (x – x₀)² + ... + (x – x₀)ⁿ. (2.21)

Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена P_n(x) n-й степени.

Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x₀ принадлежит этому промежутку.

Поставим задачу: найти многочлен n-й степени P_n(x), такой, чтобы значение P_n(x₀) совпадало с f(x₀), а значение всех производных для P_n(x) в точке x₀ (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x₀, т.е.

P_n(x₀) = f(x₀), (x₀) = (x₀), (x₀) = (x₀), ..., P_n⁽ⁿ⁾(x₀) = f ⁽ⁿ⁾(x₀).

Тогда по формуле (3) многочлен P_n(x) имеет вид:

P_n(x) = f(x₀) + (x – x₀) + (x – x₀)² + ... + (x – x₀)ⁿ. (2.22)

Естественно ожидать, что многочлен P_n(x) будет в некотором смысле «близок» к функции f(x), по крайней мере, около точки x₀.

Обозначим: R_n(x) = f (x) – P_n(x), тогда f (x) = P_n(x) + R_n(x). Подставляя вместо P_n(x) его выражение (2.22), получим формулу:

f (x) = f (x₀) + (x – x₀) + (x – x₀)² +...+ (x – x₀)ⁿ + R_n(x), (2.23)

которая называется формулой Тейлора для функции f(x), а R_n(x) называется остаточным членом.

Если для некоторого x остаточный член R_n(x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f(x): f(x) » P_n(x), при этом погрешность этого приближения равна: R_n(x). Для оценки R_n(x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:

R_n(x) = (x – x₀)ⁿ⁺¹, (2.24)

где c – некоторое число, заключенное между x₀ и x. Число c можно представить в виде:
c = x₀ + q(x – x₀), где q – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 < q < 1. Тогда формула остаточного члена примет вид:

R_n(x) = (x – x₀)ⁿ⁺¹, (2.25)

Другая формула для R_n(x) называется формой Коши и имеет вид:

R_n(x) = (x – x₀)ⁿ⁺¹×(1 – q)ⁿ, (2.26)

где q удовлетворяет неравенству 0 < q < 1.

Вообще говоря, значения q в формулах (2.25) и (2.26) различные. (Вывод этих формул см. [6, с. 186]).

Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x₀) + (c)(x – x₀), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x₀) = (c)(x – x₀). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (2.23) положить x₀ = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:

f(x) = f(0) + x + x² + ... + xⁿ + R_n(x), (2.27)

где R_n(x) = xⁿ⁺¹ – остаточный член в форме Лагранжа (0 < q < 1).

Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x₀ = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).

1) f(x) = e^x

Так как (x) = e^x, (x) = e^x, ..., f ⁽ⁿ⁾(x) = e^x и f(0) = 1, (0) = 1, (0) =1, ...,
f ⁽ⁿ⁾(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:

e^x = 1 + + + ... + + e^qx, 0 < q < 1. (2.28)

Если |x| £ 1, то при n = 8 получаем: R₈ <×3 <.

Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.

Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности:
e = и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1,
n = 8 имеем: e » 1 + 1 + + + + + + + » 2,71828, причем погрешность R₈(1) не превосходит 0,00001.

2) f (x) = sinx

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:

f(x) = sinx, f(0) = 0,

(x) = cosx = sin(x +), (0) = 1,

(x) = –sinx = sin(x + 2×), (0) = 0,

(x) = –cosx = sin(x + 3×), (0) = –1,

f ⁽⁴⁾(x) = sinx = sin(x + 4×), f ⁽⁴⁾(0) = 0,

f ⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + n×), f ⁽ⁿ⁾(0) = sin.

Если n = 2m, m Î N, то f ^(2m)(0) = 0; при n = 2m + 1: f ^(2m+1)(0) = (–1)^m, поэтому

sinx = x – + – ... + (–1)^m+ (–1)^m+1cosqx. (2.29)

3) Аналогично для функции f(x) = cosx можно получить следующую формулу Маклорена:

cosx = 1 – + – ... + (–1)^m+ (–1)^m+1cosqx . (2.30)

В последних двух разложениях |cosqx| £ 1 и потому R_n(x) по абсолютной величине не превосходит (в формуле (2.29)) или (в формуле (2.30)).

Пример 2. Вычислить приближенно sin20⁰ с точностью до 0,0001.

Решение.Воспользуемся формулой (2.29), положив x = 20⁰ = радиан и взяв 2 члена разложения: sin» – ×= 0,3420, |R_n| £ ×£ 0,0001.

Заданиядля самостоятельной работы.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)).

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).

Вычислить приближенно cos40⁰ и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).

В следующих разделах мы будем изучать с помощью производных поведение функций. В разд. 2.9 (следствие из теоремы Лагранжа) мы говорили о том, что если производная (x) = 0 на некотором интервале, то функция f(x) постоянна на этом интервале. Теперь будем изучать другие свойства функции.