Реферат Курсовая Конспект
Решение - раздел Математика, ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ...
|
Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:
. (*)
Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x0.
Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.
Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как .
Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:
не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0.
Рассмотрим геометрический смысл производной.
На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + Dx, f(x0 + Dx). Прямая M0M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом b. Пусть (x0) существует, т.е. есть некоторое число. Из DM0MА получаем: (известно, что tgb – угловой коэффициент прямой M0M). Если Dx ® 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M0K, при этом (a – угол между касательной M0K и осью Ox), tgb ® tga.
Таким образом, но tga = k есть угловой коэффициент касательной M0K.
Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: (x0) = k = tga.
В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид: y – f (x0) = (x0)(x – x0).
Переходим к рассмотрению механического смысла производной.
Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.
Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени
t0 + Dt. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + Dt) пройдено расстояние S = f(t0 + Dt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Dt пройден путь M0M и он равен:
S – S0 = f(t0 + Dt) – f(t0) = DS.
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени Dt равна: Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Dt. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при Dt ® 0. Итак,
Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Основные правила дифференцирования... Установим правила по которым можно находить производные суммы произведения... Теорема Если функции u x v x дифференцируемы в точке x то их сумма дифференцируема в этой точке причем...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов