Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций
Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций - раздел Математика, ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Используя Теорему 5 (Разд. 2.3) Докажем Следующие Формулы:
1) ...
Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
1. Если xÎ[–1, 1], yÎ[–p/2, p/2], то функции y = arcsinx, x = siny являются взаимно обратными, причем = (siny)' = cosy. Если –p/2 < y < p/2 (при этом –1 < x < 1), то cosy > 0, поэтому .
По теореме 5 (разд. 2.3) имеем: тогда
(–1 < x < 1).
2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если xÎ[–1, 1], yÎ[0, p], = (cosy)' = –siny. Если 0 < y < p (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому
.
Так как то
(–1 < x < 1).
3. Функции y = arctgx, x = tgy взаимно обратны, если yÎ(–p/2, p/2), a xÎR. Используя равенство , получаем:
xÎR.
4. Для y Î (0, p) функции y = arсctgx, x = сtgy взаимно обратны, = –(1 + ctg2y) = –(1 + x2), поэтому
xÎR.
Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.
Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:
гиперболический синус
гиперболический косинус
гиперболический тангенс
гиперболический котангенс .
Для гиперболических функций справедливы тождества:
ch2x – sh2x =1. (Проверьте это!).
Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что (e–x)' = e–x×(–1) = –e–x (как производная сложной функции):
Основные правила дифференцирования... Установим правила по которым можно находить производные суммы произведения... Теорема Если функции u x v x дифференцируемы в точке x то их сумма дифференцируема в этой точке причем...
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наи
Правило Лопиталя
В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа
Формула Тейлора
Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.
Рассмотрим предварительно следующую задач
Возрастание и убывание функций
Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (
Экстремумы функции
Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 Î X.
Говорят, что в точ
Асимптоты
При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов