рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций - раздел Математика, ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Используя Теорему 5 (Разд. 2.3) Докажем Следующие Формулы: 1) ...

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Если xÎ[–1, 1], yÎ[–p/2, p/2], то функции y = arcsinx, x = siny являются взаимно обратными, причем = (siny)' = cosy. Если –p/2 < y < p/2 (при этом –1 < x < 1), то
cosy > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем: тогда

(–1 < x < 1).

2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если xÎ[–1, 1], yÎ[0, p],
= (cosy)' = –siny. Если 0 < y < p (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому

.

Так как то

(–1 < x < 1).

3. Функции y = arctgx, x = tgy взаимно обратны, если yÎ(–p/2, p/2), a xÎR. Используя равенство , получаем:

xÎR.

4. Для y Î (0, p) функции y = arсctgx, x = сtgy взаимно обратны,
= –(1 + ctg2y) = –(1 + x2), поэтому

xÎR.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

гиперболический котангенс .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

ch2x – sh2x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что
(e–x)' = e–x×(–1) = –e–x (как производная сложной функции):

Итак, (shx)' = chx.

Аналогично доказывается, что (chx)' = shx.

Так как ch2x – sh2x =1, то получаем:

Аналогично можно показать, что

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные правила дифференцирования... Установим правила по которым можно находить производные суммы произведения... Теорема Если функции u x v x дифференцируемы в точке x то их сумма дифференцируема в этой точке причем...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл
Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0

Решение
    Если

Производные некоторых элементарных функций
Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0ÎX и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. произв

Доказательство
Так как Du = u(x + Dx) – u(x), то u(x + Dx) = u(x) + Du.    

Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование
Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравнением F(x, y) = 0, (2.1) причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция

Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование
Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):

Дифференциал функции
Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению: =

Решение
1) Dy = (x + Dx)2 – x2 = x2 + 2xDx + (Dx)2 – x2 = 2xDx + (Dx)2

Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) та

Основные теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наи

Правило Лопиталя
В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа

Формула Тейлора
Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений. Рассмотрим предварительно следующую задач

Возрастание и убывание функций
Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (

Экстремумы функции
Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 Î X. Говорят, что в точ

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x). Кривая, заданная функцией

Асимптоты
При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги