Решение
1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций 
и 
, получаем область определения функции:
: 
.
2) Так как функция определена только для положительных значений 
, то функция не является симметричной.
3) Найдем точки пересечения с осью 
: 
или 
, т.е. 
, откуда 
. Точки пересечения с осью 
не существует, так как никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – 
.
4) Данная функция непрерывна на всей области определения.
5) Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:
.
Отсюда прямая 
(ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.
Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:
,
.
Полученная прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции.
6) Найдем 
: 
.
Производная равна нулю, когда 
, то есть при 
. Производная существует на всей области опреде
ления функции 
. Следовательно, существует только одна критическая точка первого рода.
7) Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной на всех интервалах (рис. 3.5):
, 
.
Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале 
функция возрастает, а на 
– убывает.
8) Найдем 
:
.
Производная второго порядка равна нулю, если 
или 
, 
. Отсюда получаем: 
, 
. Так как не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода .
9) Нанесем область определения функции и критическую точку второго рода на числовую ось (рис. 3.6). Найдем знаки на всех полученных интервалах:
, 
.
При переходе через критическую точку 
производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале 
график является выпуклым, а на 
– вогнутым.
10) Найдем значения функции при и :
, 
.
Для более точного построения графика вычислим значения функции в дополнительной точке: 
.
11) Данные, необходимые для построения графика, сводим в таблицу и согласно последней строке в таблице строим график функции (рис. 3.7).
|
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| + | – | – | – | |
|
| – | – | – | + | |
 
|
 |
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ................................................................................................................ 63
3.1. Предел функции............................................................................................................................................................ 63
3.2. Производная функции................................................................................................................................................... 66
3.3. Дифференциал функции................................................................................................................................................ 69
3.4. Наибольшее и наименьшее значение функции............................................................................................................. 70
3.5. Правило Лопиталя......................................................................................................................................................... 72
3.6. Исследование функций и построение их графиков...................................................................................................... 74