Реферат Курсовая Конспект
Решение - раздел Математика, Предел функции 1) Областью Определения Функции Является Вся Числовая Ось, За Исключением Точ...
|
1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения .
2) Найдем :
,
так как , то функция является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
3) Точка пересечения с осью определяется равенством , т.е.
, .
Точка пересечения с осью определяется равенством :
,
т.е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат .
4) Так как при и не выполняется первое условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как
, и , .
5) Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения: и .
Найдем уравнения невертикальных асимптот, для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :
,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при и .
6) Найдем производную :
.
Для того чтобы найти критические точки первого рода, решим уравнение: и выясним, в каких точках не существует . Уравнение равносильно уравнению или , отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т.е. при , . Таким образом, получили пять критических точек первого рода: , , , , .
7) Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.
Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 3.2).
Например: ; ;
; ; ; .
Так как при переходе через критические точки производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при достигается минимум функции, а при – максимум. Кроме того, на интервалах и функция возрастает, а на интервалах , и
– убывает.
8) Найдем :
.
Определим критические точки второго рода. Приравняем вторую производную к нулю:
,
это уравнение равносильно уравнению , откуда .
Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки второго рода: , , .
9) На числовой оси отложим все критические точки второго рода и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 3.3):
, ,
, .
При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, – точка перегиба графика функции. На интервалах и график функции является выпуклым, а на интервалах и – вогнутым.
10) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:
, , .
Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: , .
11) Полученные данные занесем в таблицу:.
(0, 1) | ||||||
– | – | + | ||||
– | + | + | + | |||
Теперь построим график функции (рис. 3.4).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Производная функции Основные правила нахождения производной где...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Решение
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов