Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.
Если в уравнении 1-го порядка коэффициенты и удовлетворяют условию , то его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции . Такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Записав такое уравнение в виде , и найдя первообразную функцию , получим общий интеграл этого уравнения, полагая .
Решение. Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах:
; ;
Затем находим неопределенные интегралы:
, считая постоянной;
, считая постоянной.
Беря все известные члены из первого результата и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от , из второго результата, получим функцию
,
полным дифференциалом которой является левая часть данного дифференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, получим искомый общий интеграл данного уравнения: