Реферат Курсовая Конспект
Задача 8 - раздел Математика, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. Найти Общее Решение Линейного, Неоднородного Дифференциального Уравнения С По...
|
Найти общее решение линейного, неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Линейным однородным уравнением называется уравнение
, (1)
все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты , , … , – известные функции от аргумента или постоянные.
Общий интеграл линейного однородного уравнения -го порядка (1) имеет вид
,
где , , … , – линейно независимые частные интегралы этого уравнения.
Если все коэффициенты линейного однородного уравнения (1) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью характеристического уравнения
, (2)
которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем все коэффициенты , заменить функцию единицей, а все ее производные соответствующими степенями . При этом:
1) если все корни , , … , характеристического уравнения (2) действительны и различны (однократны), то общий интеграл уравнения (1) выражается, формулой
; (3)
2) если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексных сопряженных корней , то в формуле (3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым
;
3) если действительный корень уравнения (2) имеет кратность , то соответствующие членов в формуле (3) заменяются слагаемым
;
4) если пара комплексных сопряженных корней уравнения (2) имеет кратность , то соответствующие пар членов в формуле (3) заменяются слагаемым
Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных
, (4)
отличающееся от линейного однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции от независимойпеременной .
Общий интеграл линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла и общего интеграла соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при ).
Для решения линейного неоднородного уравнения (4) с постоянными коэффициентами вначале находится функция , затем функция . Их сумма и дает общий интеграл неоднородного уравнения: .
Для некоторых специальных видов функции частный интеграл можно найти методом неопределенных коэффициентов.Повиду правой части можно заранее указать вид частного интеграла , где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем найти его без всяких квадратур в следующих простейших случаях:
1) , где – многочлен[1],
2) ,
3) есть сумма указанных функций.
В этих случаях есть функция, подобная , т. е. отличается от только числовыми коэффициентами.
Но если число (для случая 1) или числа (для случая 2) являются корнями характеристического уравнения кратности , то отличается от множителем .
Решение. Вначале находим общий интеграл однородного уравнения , соответствующего данному неоднородному уравнению. Его характеристическое уравнение имеет корни , , поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть
.
Далее находим частный интеграл данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения , согласно указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), есть функция, подобная , т.е.
.
Для определения коэффициентов , , находим производные
,
,
,
подставляем и в данное уравнение:
и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему:
из которой находим
Следовательно, ,
.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 8
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов