рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Задача 11

Задача 11 - раздел Математика, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. Разложить В Степенной Ряд Тейлора Функцию: ...

Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при .

 

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

.

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции только при тех значениях , при которых остаточный член формулы Тейлора для этой функции при неограниченном возрастании стремится к нулю.

При ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной :

,

который принято называть рядом Маклорена.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

а) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при и подставить их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;

б) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений , при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых ).

Для многих функций, употребляемых в практических применениях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью совпадает с совокупностью тех значений , при которых соответствующий остаточный член , когда , т.е. для многих функций каждая точка сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена , что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.

 

Решение. а) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :

.......................................... ............................

.......................................... ............................

 

Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции, получим

 

 

 

б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:

 

; .

; , если .

 

Решая это неравенство, находим интервал . Границы этого интервала исследуем особо. Подставляяв ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда .

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть . Исследуя остаточный член формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ.

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 11

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Практические занятия
Неопределенный интеграл. Использование таблиц интегралов. Замена переменной интегрирования. Методы интегрирования по частям. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбни

Задача 1
Вычислить неопределенные интегралы по частям. 1. 16.

Задача 2
Вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной.   1.

Задача 3
  Вычислить определенные интегралы.   1. 6.

Задача 4
Найти общее решение уравнений с разделяющимися переменными.   1.

Задача 5.
Найти общее решение линейных уравнений или уравнений Бернулли.   1.

Задача 6
Найти общее решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.   1.

Задача 7
Найти общее решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.   1.

Задача 8
Найти общее решение линейных, неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.   1.

Задача 9
Исследовать на сходимость числовые ряды, используя признаки Даламбера (№1–6), Коши (№7–14), Лейбница (№15–24), сравнения (№25–30).   1.

Задача 10
Определить область сходимости функциональных рядов (№1–15); для степенных рядов (№16–30) найти радиус сходимости и оценить поведение рядов на концах интервала сходимости.  

Задача 11
Разложить в степенной ряд Тейлора следующие функции:   1. в окрестности точки

Задача 1
Вычислить неопределенный интеграл по частям: . Данный метод основан на использовании формулы интегрирования по частям.

Задача 2
Вычислить интеграл методом замены переменной: . Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид

Задача 3
Вычислить определенный интеграл: .   Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона–Лей

Задача 4
Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными:     Уравнение первого

Задача 5.
Найти общее решение линейного уравнения: .   Уравнение вида

Задача 6
Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах: .   Если в уравнении 1-г

Задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка: . 1) Уравнение

Задача 8
Найти общее решение линейного, неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:   .

Задача 9
Исследовать на сходимость числовой ряд: . Числовым рядом называется выражение

Задача 10
Определить интервал сходимости степенного ряда: . Ряд

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги