Реферат Курсовая Конспект
Задача 11 - раздел Математика, ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. Разложить В Степенной Ряд Тейлора Функцию: ...
|
Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при .
Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида
.
Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции только при тех значениях , при которых остаточный член формулы Тейлора для этой функции при неограниченном возрастании стремится к нулю.
При ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной :
,
который принято называть рядом Маклорена.
Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:
а) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при и подставить их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;
б) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений , при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых ).
Для многих функций, употребляемых в практических применениях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью совпадает с совокупностью тех значений , при которых соответствующий остаточный член , когда , т.е. для многих функций каждая точка сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена , что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.
Решение. а) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :
.......................................... ............................
.......................................... ............................
Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции, получим
б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:
; .
; , если .
Решая это неравенство, находим интервал . Границы этого интервала исследуем особо. Подставляяв ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда .
Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть . Исследуя остаточный член формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Кафедра высшей математики и информатики...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Задача 11
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов