Задача 3.

 

1. В первой урне 2 голубых и 6 красных шаров, во второй – 4 голубых и 2 красных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй достали один шар. Какова вероятность того, что этот шар голубой? Если предположить, что шар, взятый из второй урны оказался голубым, какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 голубых шара?

Задачи такого типа решаются с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Если об обстановке (условиях) опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) и если событие может появиться только с одной из этих гипотез, то вычисляется по формуле полной вероятности

(5)

где - вероятность гипотезы ;

- условная вероятность события A при гипотезе .

Если до опыта вероятности гипотез были , а в результате опыта появилось событие A, то с учетом этого факта условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса:

 

(6)

Формула Байеса дает возможность "пересмотреть" вероятности гипотез с учетом полученного результата опыта. Если после опыта, заканчивающегося появлением события A, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие , то условная вероятность этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую подставлены не прежние вероятности гипотез , а новые :

.