Реферат Курсовая Конспект
Представление в виде степенного ряда - раздел Математика, Лекция № 1, 2 ...
|
Лекция № 1, 2
Представление Пуассона для гармонических функций
Представление Пуассона для гармонических функций, принадлежащих некоторым классам
Пусть известно лишь, что функция U(z) гармонична в круге {|z| < 1}. Замечательно, что часто её всё же можно представить в этом круге по формуле Пуассона.
Теорема. Пусть р > 1, и пусть V (г) — гармоническая функция в {z < 1}. Предположим, что средние
ограничены при r<.1. Тогда существует такая функция , что
для г < 1,
Доказательство.
При р > 1 пространство является cопряжённым с , где . Для функций (вместо подходит любая последовательность , стремящаяся к 1 снизу) имеем (здесь, конечно, берётся по отрезку (—π,π)), так что канторовским диагональным процессом мы можем выделить из них подпоследовательность Unh такую что для всех функций G, пробегающих некоторое счётное всюду плотное подмножество пространства , существует предел
Так как , то этот предел LG на самом деле существует для всех и LG является ограниченным линейным функционалом на Lq. Следовательно, поскольку пространство Lp сопряжено с Lq, то существует такая функция , что
всех .
Теперь,для каждого п функция гармонична в , так что если r < 1, то
Зафиксируем произвольное r <. 1 и любое θ и возьмём G (t) = . Тогда
В этом равенстве слева стоит
Таким образом,
,
где
Замечание Тот же результат справедлив с тем же доказательством и при р =∞, если мы немного изменим формулировку теоремы:
Теорема. Если U(z) — ограниченная гармоническая функция в {|z| < 1}, то существует функция , такая что
А что же в случае р=1? Пространство , к сожалению, не является сопряжённым ни с каким другим. Но М — пространство конечных вещественных мер μ на [-π, π] с нормой ||μ||, равной полной вариации меры μ,— сопряжено с С [-π, π] —пространством непрерывных функций на [-π, π]. Если то мы можем связать с g меру μ, положив
при этом
Теперь рассуждение, проведенное при доказательстве первой теоремы этого пункта, показывает, что справедлива такая
Теорема. Если U(z)—гармоническая функция в круге {|z|< 1} и средние
ограничены при r< 1, то существует конечная вещественная мера μ на [-π, π], такая что
для 0≤r< 1.
Следствие (Званс). Пусть U(z)-функция, гармоническая и положительная (здесь и далее «положительный» означает «неотрицательный») в круге {|z|<1}. Тогда существует конечная положительная мера μ на [-π, π],, такая что
Доказательство.
Для r<1 (используя, например, разложение , имеющее место в {|z| < 1}) получаем
,
гак как . А теперь применяем теорему. Мера μ положительна, потому что в этом случае (см. опять доказательство первой теоремы этого пункта) оказывается, что интеграл положителен для любой положительной функции как предел положительных чисел!
Граничное поведение
Если мы имеем одно из представлений
выведенных в предыдущем пункте, то возникает задача нахождения связи между U(z) и функцией F(t) или мерой dμ(t)
Лекция 3
Формула Коши-Грина и ее обобщение в случае единичного круга.
Лекция № 4,5,7
Лекция №8
Лекция 9
Лекция 10
Граничные значения почти всюду равны по модулю
Семестр
Лекция 4
Произведение Бляшке. Выделение нулей из класса посредством функции Бляшке.
Возможность построения произведения Бляшке,
имеющего те же нули, что и у заданной функции,
Классы Нр 0 < р < ∞. Факторизация
Определение Если р > 0, то пространство Нр состоит нз функций F(z) аналитических в {|z|< 1}, для которых
(1)
Теорема Если р>0, и , то в ζ|<1 имеем
(2)
где b(ζ)—функция Бляшке, a в ζ|<1
Доказательство.
Покажем сначала, что интеграл (6.1) есть неубывающая функция от r в 0<r<1. Действительно, при любом фиксированном ρ, 0 <ρ < 1, функция регулярна в и, следовательно, имеет в ζ|<1 представление:
где
bρ(ζ)—функция Бляшке, a в ζ|<1 Функция {hp(ζ)}p регулярна в ; следовательно, из примененной к ней формулы
Пуассона имеем в ζ|<1:
Интегрируя это неравенство по Ѳ от 0 до 2π, получаем:
(3)
Но так как в ǀζ|<1 и на ǀζ|=1, то в ǀζ|<1 и на ǀζ|=1, следовательно, имеет место неравенство:
доказанное, таким образом, при любых r и ρ из 0<r<1. Заменяя здесь r на ρ'/ρ, ρ'<ρ, и получим неравенство, доказывающее неубывание интеграла (6.1) в 0<r<1.
Обращаясь теперь к доказательству теоремы, отметим, что в ǀζ|<1 имеет место представление (2) с функцией h(ζ), регулярной и без нулей в ǀζ|<1 . Докажем, что
Пусть верхняя граница интегралов (1) в 0<r<1 равна М.
Обозначив через bn (ζ) произведение n первых множителей в представлении
(*)
функции Бляшке b (ζ) и выбирая для заданного ε, 0<ε<1, и фиксированного п такое η>0, чтобы в ǀζ|>1-η было ǀbn (ζ)ǀ > 1- — s, что возможно, при 1 — η <r < 1 имеем:
(4)
Но так как интеграл в (4) есть неубывающая функция от r 0<r<1, то неравенство (4) имеет место и при 0<r<1—η, т. е. во всем промежутке 0<r<1. Фиксируя r и устремляя n k ∞, из (4) получаем при 0<r<1, учитывая еще произвольность ε>0:
Это и доказывает, что и даже более, что верхние границы интегралов (1) для f(ζ) и для h(ζ) в промежутке 0<r<1 будут равны.
Теорема доказана.
Следствие. Если , то мы можем найти такие две функции g и h, принадлежащие Н 1 что и не имеющие нулей в {|z|<1}, что
и f=g+h
Замечание. Этот технический результат оказывается часто полезным, так как многие неравенства для функций из Н1 легче доказывать для функций, не имеющих нулей в {|r|<1}.
Доказательство
Пусть В (r)—произведение Бляшке, построенное по нулям функции f(z). Тогда по предыдущей теореме f= BF, где F(z) не имеет нулей в {|z| < 1}, и
Мы получаем требуемый., результат, полагая
поскольку, как непосредственно проверяется (или же следует из строгого принципа максимума), |В(z)<1 для |z|< 1.
Следствие. Пусть функция , Тогда её можно представить в виде
где В (z) — произведение Бляшке, а функция g принадлежит H1 и не имеет нулей в {|z|<1}.
Доказательство.
Функция f(z) допускает представление f=BF, где функция не имеет нулей в {|z|<1}. Положим g(z) = [F(z)]p для |z|< 1. Тогда функция g(z) однозначна н регулярна в круге {|z|<1}, поскольку F нигде нём не обращается в нуль.
Лекция 9 - 12
Приложения неравенства Фейера-Рисса в комплексном анализе. Изучение свойств конформно отображающих функций.
Б о
какова бы ни была 2π-периодическая непрерывно дифференцируемая функция Т. Пусть теперь , а — равномерно ограниченная последовательность таких функций, сходящаяся к единице в (0,θ0) и к нулю в [0, 2π] (0,θ0). Подставляя Тп вместо Т в последнее равенство и переходя к пределу, по теореме Лебега получаем
Следовательно,
Теорема доказана,
Длина дуги кривой Г может быть очевидным образом использована для определения линейной меры на Г. Сначалапусть Ơ— (относительно) открытое подмножество Г тогда Ơ есть счётное объединение попарно Heпepeceкающихся открытых дуг Ʌk, и мы положим |Ơ|=длина Ʌk. Для произвольного подмножества определим |E| как inf{|Ơ|: Ơ , Ơ открыто в Г}. Так как Ф — гомеоморфное отображение окружности {|z|= 1} на Г, то легко показать, основываясь на вышеприведенной теореме, что
борелевсках множеств Е на единичной окружности. Имеет место следующий важный результат:
Теорема (Ф. и М. Риссы). Если Е - подмножество единичной окружности и {|z|= 1}, то |Ф(Е)| = 0.
Доказательство.
Пусть — открытые множества на {|z|= 1}, такие что Тогда |Ф(Е)|≤|Ф(Ωп) | для всех n. Но из предыдущей теоремы н следующего за ней обсуждения вытекает, что
этот интеграл стремится к нулю при так как и .
– Конец работы –
Используемые теги: Представление, виде, степенного, ряда0.069
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Представление в виде степенного ряда
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов