рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Формула для гармонически спряженной функции

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Формула для гармонически спряженной функции

Формула для гармонически спряженной функции - раздел Математика, Представление в виде степенного ряда Предположим, Что ...

Предположим, что

тогда

где, sign 0=0

В самом деле, функция Û(reⁱ^Ѳ) гармонична в единичном круге, Û(0)=0

Кроме того

аналитическая функция в единичном круге

Теперь, если

где мера на [-π;π], то в вышеприведенном разложении функции U в ряд . Рассматривая разложение в ряд для Û, видим, что

назовем

сопряженным ядром Пуассона. непосредственным суммированием двух геометрических прогрессий найдем, что

Таким образом справедлива теорема

Теорема Если , то гармонически спряженная U функция Û задается формулой

Интегральное представление классов

Важную роль в изучении классов играет интегральное представление функций из этих классов.

Сначала докажем следующее утверждение:

Теорема .Пустьгде – класс Соболева в . Если при этом существует такое число , что и при , то при всех справедливо представление

(2.5)

где, как обычно,

Доказательство. Пусть фиксировано, положим

Тогда, записав формулу Коши-Грина для функции (см. [31]), имеем:

Используя условие теоремы, получаем:

Упростим подынтегральное выражение:

Следовательно, из равенства (2.5) имеем:

Положив , получаем:

□

Из данной теоремы непосредственно следует:

ТеоремаПусть . Тогда если или то справедливо представление

Доказательство непосредственно следует из теоремы 2.3, если учесть, что , при этом в условиях теоремы при .

□

Из интегрального представления классов вытекает:

Теорема. Пространство при относительно нормы

является банаховым, а при – квазибанаховым пространством.

Доказательство. Пусть . Обозначим через пространство измеримых в функций , для которых соответствующий интеграл конечен.

Хорошо известно, что пространство при банахово, а при квазибанахово. Поэтому достаточно установить, что является замкнутым подпространством пространства при всех .

Предположим, что – последовательность из , а функция такая, что при .

Докажем, что . Используя оценку (2.1), имеем:

Отсюда следует, что последовательность равномерно сходится внутри к некоторой функции . Учитывая теорему Ф. Рисса (см. [17]), нетрудно подобрать подпоследовательность такую, что почти всюду в . Поэтому почти всюду в , и следовательно, . □

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Представление в виде степенного ряда

Представление Пуассона для гармонических функций... Представление Пуассона для гармонических функций принадлежащих некоторым... Пусть известно лишь что функция U z гармонична в круге z lt Замечательно что часто е вс же можно...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула для гармонически спряженной функции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Представление в виде степенного ряда
Пусть U(z) – вещественная функция, гармоническая в круге . Тогда можно построить другую веществе

Формула Пуассона
Формулу, которую мы вывели в предыдущем пункте, можно записать в замкнутом виде. Если R > 1, то мы легко находим, что при r < 1

Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений. Ядро Пуассона

Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством: d) Для любого σ > О Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│

Формула Коши
Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция

Формула Коши-Грина
f(z)= ς=ξ+iμ z Є inf Г Доказательство

Весовое пространство аналитических в круге функций
Пусть обозначим через

Интегральное представление гармонических функций
Пусть – множество всех гармонических в

ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r| < 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного повед

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.
Бесконечное произведение есть выражение вида (1+а1)(1+а2)(1+а3) .... (1) содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Логарифм бесконечного произведения.
Пусть верно ли, что

Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
А. Произведение Бляшке Если .., и бесконечное произведение

Единице
Пусть так что

Аналитической в единичном круге
Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп — её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы

ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой

Образы множеств меры нуль на единичной окружности
Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(z) абсолютно сходится вплоть до {|z|= 1}. Дoказательство. По подпункту 1° имеем