рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость. - раздел Математика, Представление в виде степенного ряда Бесконечное Произведение Есть Выражение Вида (1+А1...

Бесконечное произведение есть выражение вида

(1+а₁)(1+а₂)(1+а₃) .... (1)

содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Мы предполагаем, что ни одно из чисел а„ не равно —1. Рассмотрим частичное произведение

Мы говорим, что бесконечное произведение (1) сходится, если р_n стремится к некоторому пределу, отличному от нуля, когда п →∞

Мы могли бы, конечно, допустить предел 0, как всякий другой; но мы увидим ниже, что во многих случаях это было бы неудобно.

Если произведение не сходится, то говорят, что оно расходится. Если , то говорят, что оно расходится к нулю.

Мы начнем с рассмотрения двух простых случаев.

Если a_n,≥0 то произведение П(1+a_n) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Так как в этом случае р_n есть неубывающая функция от п, то р_n стремится либо к конечному пределу, либо к положительной бесконечности. Далее,

Левое неравенство становится очевидным, если раскрыть скобки; правое неравенство следует из того, что при любом положительном а. Вместе эти неравенства показывают, что р_n и a₁ +…+a_n ограничены или не ограничены одновременно, и это завершает доказательство.

Если a_n,≤0 для всех значений п, то мы полагаем a_n = -b_n и рассматриваем произведение

Если для всех значений п и ряд сходится, то произведение П(1 — b_п) сходится.

Из сходимости ряда следует существование столь большого N, что b_N + b_N₊₁+…<1/2 и, в частности, b_n < 1 при n≥N. Очевидно,

(1 - b_N) (1 - b_N+1)≥1- b_N - b_N₊₁_,

Таким образом, отношение р_п/p_N₊₁ монотонно убывает при п> N и имеет положительную нижнюю грань. Следовательно, оно стремится к положительному пределу. Поскольку , это завершает доказательство.

Если 0≤b_n для всех п, но ряд расходится, то произведение П( 1 — b_n) расходится к нулю.

В самом деле, , если 0≤b<1, так что

Правая часть стремится к нулю, что и завершает доказательство.

Таким образом, если если 0≤b_n<1, то произведение П( 1 — b_n) и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Общий случай. Пусть теперь a_n — любые вещественные или комплексные числа, отличные от —1.

Определение. Произведение П(1+a_n) называется абсолютно сходящимся, если произведение П( 1 — |a_n |) сходится.

Из первого предложения следует, что необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения П(1+a_n) служит сходимость ряда

Покажем теперь, что абсолютно сходящееся произведение сходится.

Обозначим через р_п то же частичное произведение, что и выше,

и положим Так как

то |р_п — p _n_-1|≤|Р_п — Р_п-1|- Если произведение П(1 +|a_n|) сходится, то Р„ стремится к некоторому пределу, так что ряд сходится. Тогда, в силу теоремы сравнения, сходится и ряд стремится к некоторому пределу.

Этот предел не может быть нулем. Действительно, так как ряд сходится и 1+а_п→1, то ряд

также сходится. Следовательно (в силу только что доказанного), произведение

стремится к некоторому пределу.

Но это произведение равно 1/р_п- Следовательно, предел произведения р_п отличен от нуля.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Представление в виде степенного ряда

Представление Пуассона для гармонических функций... Представление Пуассона для гармонических функций принадлежащих некоторым... Пусть известно лишь что функция U z гармонична в круге z lt Замечательно что часто е вс же можно...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Представление в виде степенного ряда
Пусть U(z) – вещественная функция, гармоническая в круге . Тогда можно построить другую веществе

Формула Пуассона
Формулу, которую мы вывели в предыдущем пункте, можно записать в замкнутом виде. Если R > 1, то мы легко находим, что при r < 1

Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений. Ядро Пуассона

Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством: d) Для любого σ > О Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│

Формула Коши
Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция

Формула Коши-Грина
f(z)= ς=ξ+iμ z Є inf Г Доказательство

Весовое пространство аналитических в круге функций
Пусть обозначим через

Интегральное представление гармонических функций
Пусть – множество всех гармонических в

ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r| < 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного повед

Формула для гармонически спряженной функции
Предположим, что ,

Логарифм бесконечного произведения.
Пусть верно ли, что

Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
А. Произведение Бляшке Если .., и бесконечное произведение

Единице
Пусть так что

Аналитической в единичном круге
Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп — её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы

ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой

Образы множеств меры нуль на единичной окружности
Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы
Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(z) абсолютно сходится вплоть до {|z|= 1}. Дoказательство. По подпункту 1° имеем