рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы

Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы - раздел Математика, Представление в виде степенного ряда Теорема (Харди). Степенной Ряд Функции Ф(Z) Абсолютно Сходится Вплоть ...

Теорема (Харди). Степенной ряд функции Ф(z) абсолютно сходится вплоть до {|z|= 1}.

Дoказательство.

По подпункту 1° имеем . Кроме того, поскольку отображение Ф конформно, то Ф'(z) не обращается в нуль в {|z|<1}. Следовательно, мы можем определить аналитическую в {|z|<1} функцию Теперь, для |z|< 1 запишем

Тогда

где

и т.д.

Так как , то средние

ограничены при r < 1. По равенству Парсеваля отсюда следует, что

Теперь положим

Используя равенство Парсеваля, получаем, что средние

ограничены при r< 1.

Пусть θ(z) = [ψ(z)]² разлагается, скажем, в степенной ряд Тогда, с одной стороны, , а с другой —

Имеем

так что для доказательства абсолютной сходимости степенного ряда функции Ф(z) вплоть до {|z|= 1} нам надо показать, что

Для |z|< 1, взяв главную ветвь логарифма, получаем

так что

для z = rе^iθ, 0<r<1; умножая на и используя абсолютную сходимость и ортогональность находим что

это по абсолютной величине не превосходит , что равномерно по r < 1 ограничено, скажем, константой М. Поскольку А_n ≥ 0, то мы получаем, устремляя r к I, что

, как и требовалось.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Представление в виде степенного ряда

Представление Пуассона для гармонических функций... Представление Пуассона для гармонических функций принадлежащих некоторым... Пусть известно лишь что функция U z гармонична в круге z lt Замечательно что часто е вс же можно...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ряд Тэйлора конформного отображении абсолютно сходится вплоть до границы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Представление в виде степенного ряда
Пусть U(z) – вещественная функция, гармоническая в круге . Тогда можно построить другую веществе

Формула Пуассона
Формулу, которую мы вывели в предыдущем пункте, можно записать в замкнутом виде. Если R > 1, то мы легко находим, что при r < 1

Свойства суммируемости гармонических функций, заданных формулой Пуассона
Сначала получим некоторые грубые результаты, достаточные для многих рассмотрений. Ядро Пуассона

Первоначальное изучение граничного поведения
Ядро Пуассона Рr(θ) обладает и четвертым свойством: d) Для любого σ > О Рr(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│

Формула Коши
Теорема. Пусть D — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей , функция

Формула Коши-Грина
f(z)= ς=ξ+iμ z Є inf Г Доказательство

Весовое пространство аналитических в круге функций
Пусть обозначим через

Интегральное представление гармонических функций
Пусть – множество всех гармонических в

ГАРМОНИЧЕСКИ СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть дана функция U(z), гармоническая в {|r| < 1}, для которой имеет место одно из рассматриваемых представлений. Мы приступаем к исследованию граничного поточечного повед

Формула для гармонически спряженной функции
Предположим, что ,

Бесконечные числовые произведения комплексных чисел и их сходимость.
Бесконечное произведение есть выражение вида (1+а1)(1+а2)(1+а3) .... (1) содержащее бесконечно много сомножителей. Мы обозначаем его через

Логарифм бесконечного произведения.
Пусть верно ли, что

Бесконечные функциональные произведения, равномерная сходимость. Бесконечные произведения Бляшке
А. Произведение Бляшке Если .., и бесконечное произведение

Единице
Пусть так что

Аналитической в единичном круге
Теорема. Пусть функция F(z) регулярна в круге {|z|<1} и zп — её нули в этом круге, |zn| < 1. Предположим, что интегралы

ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННЫЕ СПРЯМЛЯЕМОЙ ЖОРДАНОВОИ КРИВОЙ
Рассмотрим теперь область , G ограниченную спрямляемой жордановой кривой. Пусть Ф— конформное отображение единичного круга на G — область, ограниченную жордановой спрямляемой кривой

Образы множеств меры нуль на единичной окружности
Если А — дуга кривой Г, то Ф взаимно-однозначно отображает некоторую дугу j окружности {|z|=1} на Ʌ. Само определение длины дуги теперь нам дает