Первоначальное изучение граничного поведения

Ядро Пуассона Р_r(θ) обладает и четвертым свойством: d) Для любого σ > О

Р_r(θ)→0 равномерно для σ≤│θ│≤π при r→1. Это сразу следует из формулы для Р_r(θ) .

Теорема. Пусть функция F непрерывна на R и F(t+2π)=F(θ). Пусть

Тогда U(z)→F(φ), когда , и сходимость равномерна по φ.

Доказательство.

Этот результат восходит к самому Пуассону, который полагал, что отсюда вытекает сходимость ряда Фурье функции к ней самой (на самом деле из теоремы это не следует!). Запишем

Для заданного произвольного числа <р мы имеем по свой­ству с)

Следовательно,

Пусть таково, что |F(s)— F(φ)|< ε при |s — φ|<2ϭ;

число ϭ здесь зависит только от ε, а не от φ, из-за (равно­мерной!) непрерывности функции F.

Запишем интеграл в правой части в виде суммы двух:

Если |θ-φ|< ϭ то первый интеграл справа не превосходит

Tb М — верхняя грань величины |F(t)| Тогда второй интеграл не превосходит

 

что меньше ε, если r достаточно близко к 1, в силу свойства d).

Таким образом, , если |θ-φ|< ϭ, а r достаточно близко к 1. Q. E. D.

Замечание. Свойства a), b), с) и d) вместе взятые пока­зывают, что представляет собою так называемую аппроксимативную единицу. Доказанная теорема имеет место в силу этих свойств: не только для ядра Пуассона, но и для других ядер, являющихся аппроксимативными единицами, справедливы аналогичные результаты.

Теорема. Пусть пусть функция F[t) непре­рывна в точке θ₀. Тогда стремится к F(θ₀) при стремлении re^iθ к e^iθ

Доказательство такое же, как у предыдущей теоремы.

Теорема. Пусть , 1≤ р < ∞ , и пусть

Тогда , т.е.

стремится к F(G) в А"-норме при r→ 1.

Доказательство.

Положим F_r(θ) = U(re^1θ). Тогда

Используя свойства а) и с) (мы рассматриваем как предел выпуклых комбинаций функций . считая t параметром, а θ — переменной), имеем по очевид­ному обобщению неравенства треугольника

 

Полагая

получим

Но при 0. Это так, потому что сдвиг непрерывен в L^P-норме для 1≤р <∞. Это следует а свою очередь из элементарных фактов теории функций вещественной переменной. Действительно, пусть даны ) и ε > 0. Найдем непрерывную функцию G, периодическую с периодом 2π, такую что ||F — G||_p<ɛ. Тогда, очевидно,

для |t|<ϭ при достаточно малых σ в силу равномерной непрерывности; следовательно,

для |t|<σ

Во всяком случае, функция Ф(t) непрерывна в 0, где она равна нулю.

Поэтому, по предыдущей теореме, при r→∞. Q. E. D.

При р = ∞ все, что мы имеем, — это ω*-сходимость:

Теорема. Если и

,

то при r→1

Доказательство.

Возьмём произвольную функцию Нужно доказать, что

при

при r→1 . Но это так, потому что (используем чётность )

стремится к G(t) при r→1 по предыдущей теореме. Остаётся только применить теорему Фубини.

Аналогично справедлива

Теорема. Пусть где μ — конечная вещественная мера на [-π,π]. Тогда при r→1, т. е. для любой непрерывной функции G(θ), пе­риодической с периодом 2π,

когда r→1

Доказательство.

Применяем теорему Фубини вместе с первым результатом этого подпункта.