рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее.

Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее. - раздел Математика, Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее В Дифференциальном Исчислении Ставилась Задача: Для Данной Функции Найти Ее П...

В дифференциальном исчислении ставилась задача: для данной функции найти ее производную. В интегральном исчислении ставится обратная задача: по производной функции найти саму функцию.

Пусть y = f(x) – некоторая заданная функция.

Определение. Всякая функция y=F(x), производная которой совпадает с функцией y = f(x) , называется первообразной для функции y = f(x). То есть если , то функция будет первообразной для функции f(x) (а f(x) будет производной от своей первообразной F(x)).

Пример1. Функция является первообразной для функции , так как .

Отметим, что функция - не единственная первообразная для функции . В самом деле, любая функция вида + С, где С – произвольная (неопределенная) константа, тоже будет первообразной для функции . Действительно, .

И вообще, если F(x) – первообразная для заданной функции f(x), то и все функции вида F(x)+C, где С - неопределенная константа, тоже будут первообразными для функции f(x). Действительно, если , то и .

Таким образом, найдя какую-либо первообразную F(x) для данной функции f(x), мы сразу можем записать для нее и множество других первообразных:

F(x) + C (С - неопределенная константа) (1)

Более того, мы сейчас докажем, что выражение (1) дает множество всех первообразных для функции f(x).

Действительно, пусть F(x) – какая-либо конкретная первообразная для функции f(x), а – любая другая первообразная для этой же функции f(x). Образуем новую функцию и найдем ее производную:

Как оказалось, эта функция имеет нулевую производную для любого . Но, как известно, производная функции характеризует скорость изменения функции. Значит, скорость изменения функции для любого х равна нулю. А это значит, что при изменении х функция не меняется (сохраняет постоянное значение).То есть , где С - некоторая постоянная. Таким образом, , откуда . То есть действительно любая первообразная для функции находится среди функций (1). Иначе говоря, множество функций (1) действительно представляет собой множество всех первообразных для функций . то множество Лейбниц обозначил специальным символом

(2)

и назвал неопределенным интегралом от функции . Здесь знак - знак неопределенного интеграла; - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - переменная интегрирования.

Так как выражение (2) - это лишь другое обозначение выражения (1), то можно записать:

(3)

Таким образом, отыскивая (вычисляя) неопределенный интеграл , мы тем самым ищем все первообразные для подынтегральной функции . То есть ищем все функции, производные от которых равны . Эти функции (их бесчисленное множество) представляют собой сумму конкретной функции (конкретной первообразной для ) и неопределенной константы С, которой можно придать любое значение. Из-за наличия этой неопределенной константы в равенстве (3) и результат вычисления неопределенного интеграла оказывается неопределенным. Отсюда и термин: неопределенный интеграл.

Если неопределенный интеграл найден верно (то есть множество всех первообразных для функции найдено верно), то должно выполняться проверочное для (3) равенство:

(4)

Пример 2.

- верно, так как .

- неверно, так как .

Основные свойства неопределенных интегралов.

1. Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(5)

Доказательство. Используя (3) и (4), получим:

2. Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

(6)

Доказательство. Вспоминая формулу для нахождения дифференциала функции, получим:

3. Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс неопределенная константа:

(7)

Доказательство:

.

4. Свойство 4. Нахождение функции по ее дифференциалу : если , то

. (8)

Доказательство. Если , то . А это значит, что функция является первообразной для функции . Но этих первообразных для функции имеется бесчисленное количество, и все они находятся посредством вычисления .

Примечание. Функция определяется по формуле (8) неоднозначно – она определяется с точностью до неопределенной константы С, которая появится после вычисления . Поэтому для однозначного определения функции по ее дифференциалунужно задать некоторое дополнительное условие для этой функции. Таким условием, в частности, может быть следующее условие: , где и А - заданные числа.

Пример 3. Найти функцию , если известно, что и что .

Решение. Используя (8), получаем:

.

Мы получили бесчисленное множество функций :

(С - неопределенная константа).

Константу С найдем из дополнительного условия :

.

Таким образом, получаем окончательно: .

5. Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

(k – константа, k) (9)

Доказательство. Рассмотрим правую часть равенства (9):

,

где - неопределенная константа (если k). Таким образом, равенство (9) принимает вид:

.

А это равенство верно, что подтверждает его проверка:

6. Свойство 6. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:

(10)

Доказательство. Вычисляя правую часть равенства (10), получаем:

…= =

=

где

.

Таким образом, доказываемое равенство (10) принимает вид:

= F(x) + C

И оно верно, так как

При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно использовать следующие правила:

1. Если , то

. (11)

Действительно, дифференцируя левую и правую части равенства (11), получим:

.

Производные от правой и левой частей равны, что и требовалось доказать.

2. Если , то

. (12)

3. Если , то

. (13)

Равенства (12) и (13) доказываются дифференцированием правой и левой частей равенств.

Пример 4. ( по формуле 11).

Пример 5. ( по формуле 13).

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее

Интегральное исчисление наряду с дифференциальным исчислением принадлежит к числу важнейших составляющих высшей математики вместе они составляют... Таблица основных неопределенных интервалов...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Первообразная для функции и неопределенный интеграл от нее.