рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций.

Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций. - Лекция, раздел Математика, Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций   Всякую Рациональную Функцию Можно Представить В Виде Рационал...

 

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

.

Не ограничивая общность рассуждений, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель ( по правилу деления многочленов), можно представить дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

,

где М(х) – многочлен, а - правильная дробь.

Пример 1. Пусть дана неправильная рациональная дробь . Разделив числитель на знаменатель ( по правилам деления многочленов ), получаем: .

Естественно интегрирование многочленов не вызывает никаких проблем. Нам осталось научиться интегрировать правильные рациональные дроби. Оказывается, что всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Сам факт разложения любой рациональной дроби в сумму простейших дробей мы обсудим чуть позже. А пока выясним какие же дроби относятся к простейшим и как их интегрировать.

Определение. Правильные рациональные дроби вида:

1) ,

2) (k – целое положительное число ),

3) ( корни знаменателя комплексные, т.е. ),

4) (k – целое положительное число , корни знаменателя комплексные )

называются простейшими дробями 1,2,3 и 4 типов.

Интегрирование первых трех типов не представляет особых трудностей. Рассмотрим их интегрирование в общем виде.

1). .

2). .

3).

Интегрирование простейшей дроби четвертого типа более трудоемко и рассматривать мы его не будем. Желающие ознакомиться с этим алгоритмом могут использовать любой учебник по высшей математике, например учебник Пискунова Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1.

Теперь вернемся к проблеме разложения рациональной дроби на простейшие. Пусть нам дана правильная рациональная дробь . Будем предполагать, что коэффициенты входящих в нее многочленов – действительные числа и что данная дробь несократима ( последнее означает, что числитель и знаменатель не имеют общих корней ). Справедливы следующие теоремы, которые мы представим без доказательства ( доказательство см. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» т.1 ):

Теорема 1. Пусть х=а есть корень знаменателя кратности k, т.е. , где , тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

, (1)

где А – постоянная, не равная нулю, а - многочлен, степень которого ниже степени знаменателя .

Следствие.К правильной рациональной дроби , входящей в равенство (1), можно применить аналогичное рассуждение. Таким образом, если знаменатель имеет корень x=a кратности k, то можно написать:

,

где - правильная несократимая дробь. К ней также можно применить только что доказанную теорему, если имеет другие действительные корни. Вторая теорема рассматривает случай комплексных корней знаменателя.

Теорема 2. Если , где многочлен - не делться на , то правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей следующим образом:

, (2)

где Ф1(х) – многочлен, степень которого ниже степени многочлена .

Применяя теперь к правильной дроби результаты теорем 1 и 2, мы можем выделить последовательно все простейшие дроби, соответствующие всем корням знаменателя f(x). Рассмотрим основные случаи.

Случай 1. Корни знаменателя действительны и различны, т.е. f(x)=(x-a)(x-b)…(x-d). В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1-го типа:

,

и тогда

.

Случай 2. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные: .

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1и 2 типов.

Случай 3. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся (т.е. различные):

.

В этом случае дробь разлагается на простейшие дроби 1, 2 и 3 типов.

Случай 4. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные:

.

В этом случае разложение дробь будет содержать и простейшие дроби 4-го типа.

Из всего изложенного следует, что интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

1) через логарифмы – в случае простейших дробей 1 типа;

2) через рациональные функции – в случае простейших дробей 2 типа;

3) через логарифмы и арктангенсы – в случае простейших дробей 3 типа;

4) через рациональные функции и арктангенсы – в случае простейших дробей 4 типа.

Осталось выяснить как на практике разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших. Пусть у нас есть дробь со знаменателем

, то дробь может быть представлена в виде

(3)

Написанное равенство есть тождество, поэтому приведя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов А, А1, …, В, В1, … . Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

В дополнение к этому методу, в целях упрощения получаемой системы можно пользоваться методом частных значений. Проще говоря, поскольку многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях х. Придавая х «удачные» значения ( например, значения действительных корней знаменателя ) мы получим уравнения для определенных коэффициентов.

Пример 2. Пусть требуется разложить дробь на простейшие. На основании теорем 1 и 2 и общей формулы (3) имеем:

.

Приведем к общему знаменателю и приравняем числители, получим:

,

или

.

Найдем коэффициенты А,А12.

1 способ: приравнивая коэффициенты при х32, х10 (свободный член), т.е. используя метод неопределенных коэффициентов, получим систему уравнений для определения коэффициентов:

(4)

Решая эту систему, найдем А=-1, А1=1/3, А2=-2/9, В=2/9.

2 способ: прежде чем решать не такую уж и простую систему, имеет смысл её немного упростить, найдя часть коэффициентов с помощью метода частных значений. Пусть

x=-1, получим 3=-3А или А=-1;

х=2, получим 6=27В; В=2/9.

Подставим их значения в систему (4), тем самым сократив количество неизвестных в ней до двух, что гораздо проще.

В результате мы получаем разложение:

.

 

В заключение лекции найдем некоторые неопределенные интгералы.

Пример 3. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция представляет собой рациональную правильную дробь, т.к. степень числителя 2, а степень знаменателя 3. Таким образом выделять целую часть не нужно. Разложим её знаменатель на множители: . Согласно случаю 1, в разложении правильной дроби на простейшие каждому множителю знаменателя вида (х-а) соответствует слагаемое . Поэтому в данном случае имеем :

.

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество

.

Коэффициенты А,В,С определим с помощью метода частных значений.

, откуда А=-1,В=-2,С=2. Подставив найденные коэффициенты в разложение подынтегральной функции на простейшие дроби, получим

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Этапы нахождения интеграла полностью аналогичны примеру 3. Единственная разница в том, что при нахождении коэффициентов мы будет использовать оба описанных метода, комбинируя их.

Пример 5. Найти неопределенный интеграл .

Решение. Так как подынтегральная функция является неправильной дробью, то путем деления числителя на знаменатель можно представить её в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби:

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций

На сайте allrefs.net читайте: Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Лекция 37. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Интегралы от иррациональных функций.
Далеко не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Мы рассмотрим те иррациональные функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интеграла

Упражнения.
Найти неопределенные интегралы: 1) Ответ.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги