Линейные дискретные системы и цифровые фильтры

 

Важную роль в цифровой обработке сигналов играют линейные дискретные системы. Такие системы преобразуют входную последовательность x[n] в выходную y[n]. Дискретная система считается заданной, если для любой допустимой входной последовательности x[n] может быть найдена выходная последовательность. Среди всевозможных дискретных систем наибольший интерес представляют системы, которые могут быть заданы композицией из следующих трех элементов:

а) сумматора последовательностей (рис. 1.27,а).

; (01)

 

б) умножителя на постоянный коэф-

Рис. 1.27 Элементы ЛДС фициент А (рис.1.27.б)

; (02)

 

в) задержки (рис.1.27,в)

. (03)

 

Системы, состоящие из указанных элементов, называются линейными дискретными системами (ЛДС) или линейными дискретными фильтрами (ЛДФ). Если через L обозначить оператор преобразования ЛДС, то для линейной системы справедливы соотношения:

 

, (04)

 

где a₁,a₂ – константы.

Инвариантной к сдвигу называется такая система, для которой сдвиг входной последовательности на тактов приводит к соответствующему сдвигу выходной последовательности, т.е.

 

. (05)

 

Покажем, что для инвариантной к сдвигу ЛДС входная и выходная последовательности связаны соотношением свертки. Реакция ЛДС на единичный импульс называется импульсной характеристикой h[n], т.е.

 

. (06)

 

Единичный импульс δ[n], действующий только при n=0, вызывает на выходе системы отклик h[n], который отличен от нуля при различных значениях n. Соответственно, реакция ЛДС на произвольный входной отсчет x[k], действующий в точке k¹0, будет представлять импульсную характеристику h[n], сдвинутую на k тактов и умноженную на значение x[k], т.е. x[k]×h[n-k]. Реакция ЛДС на всю последовательность отсчетов x[k] будет равна сумме реакций на каждый из входных отсчетов [4,10,16]:

 

. (07)

 

Импульсная характеристика полностью определяет свойства ЛДС при нулевых начальных условиях.

Большое значение имеют физически реализуемые и устойчивые ЛДС. ЛДС является физически реализуемой, если h[n]=0 при n<0. В этом случае значение отклика ЛДС при n=n₀ зависит только от входных отсчетов с номерами n≤n_0.

ЛДС является устойчивой, если ее импульсная характеристика удовлетворяет условию [4,16]:

. (08)

 

Для устойчивой ЛДС ограниченная по значениям входная последовательность x[n] вызывает ограниченную выходную реакцию y[n] при любых начальных условиях.

Рассмотрим инвариантную к сдвигу ЛДС, образованную из базовых элементов (рис.1.28). Уравнение функционирования рассматриваемой системы имеет вид:

 

Рис. 1.28. ЛДС первого порядка . (09)

Данное уравнение является разностным уравнением первого порядка. Разностное уравнение позволяет рассчитать выходную последовательность по входной. Пусть x[n]=δ[n], и y[n]=0 при n<0. Тогда в соответствии с (09)

 

. (10)

 

В общем случае инвариантная к сдвигу ЛДС, построенная на основе базовых элементов, функционирует на основе разностного уравнения, общего вида [4,10,16]:

, (11)

 

где a[k], b[k] – постоянные коэффициенты.

Цифровое устройство, реализующее выражение (11), называется цифровым фильтром (ЦФ). В ЦФ все операции выполняются над значениями отсчетов, представленными двоичными числами ограниченной разрядности. Очевидно, что конечная разрядность обуславливает погрешность ЦФ. Эта погрешность может быть уменьшена путем увеличения разрядности ЦФ. Ниже вводятся основные характеристики ЦФ в предположении, что разрядность ЦФ достаточно велика и погрешностями вычислений можно пренебречь. Это позволяет для синтеза и исследования ЦФ использовать теорию ЛДС. Эффекты, связанные с конечной разрядностью представления отсчетов, рассматриваются в § 1.7.

Если известны коэффициенты a[k] и b[k], отсчеты входной последовательности x[n] и начальные значения y[-1], y[-2],…, y[-M], то, используя (11), можно вычислить выходной сигнал у[n] при n≥0. Фильтр, функционирующий на основе (11), называется рекурсивным фильтром (РФ). Структурная схема РФ изображена на рис.1.29.