Интегрирование линейных ДУ высших порядков

Лекция № 17

Интегрирование линейных ДУ высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения вида (1.1) решается путем n – кратного интегрирования. Уравнение , (1.2)

Пример1.1 Решить уравнение .

Решение (аналитическое).

В левой части этого уравнения стоит третья производная искомой функции, в правой – функция только от , это уравнение вида (1.1).

Т.к. , то , , откуда .

Поскольку , то последнее уравнение можно переписать так:, , откудаили .

Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного уравнения .

Решение в среде MATLAB.

(Синтаксис команд MATLAB будет приведен ниже.)

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D3y=t*2')

ans =1/12*t^4+1/2*C1*t^2+C2*t+C3.

Как видно, ответ совпадает с точностью до названия переменной.

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),а также интервал интегрирования и построения графика.

• Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

• Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> tspan=[0 20];

>> y0=[1 1 1];

>> [t,y]=ode45('ex11',tspan,y0);

>> plot(t,y)

 

Пример 1.2 Решить уравнение .

Решим уравнение аналитически. Это уравнение вида (1.2) , для которого , .

Принимая низшую производную за новую неизвестную функцию , осуществим подстановку (1.3):

,откуда . Т.о., данное уравнение сводится к уравнению первого порядка относительно : или , из которого получаем , в котором правая часть зависит только от , т.е. уравнение вида(1.1).

Трижды интегрируя, получаем соответственно: ; ;

;или , где , .

Решение в среде MATLAB.

1.Решим уравнение аналитически

>> dsolve('D4y*t+D3y=0')

ans = C1+C2*t+C3*t^2+C4*t^2*log(t)

2.Решим уравнение численно и построим его график.

Для этого необходимо составить задачу Коши (т.е. задать начальные условия),

а также интервал интегрирования и построения графика.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

Для избежания деления на 0 и «зацикливания» программы, добавляем к t малую величину 0,0000001, не влияющую, в общем, на численное решение.

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> y0=[1 1 1 1];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex12',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

Пример 1.3 Определить тип уравнения и метод решения

Это уравнение вида (1.2). Положим , тогда , поэтому уравнение имеет вид

, .

Пример 1.4 Решить дифференциальное уравнение

Решим уравнение аналитически. Это уравнение вида (1.5) решаем с помощью подстановки

Получаем . Отсюда

Подставляем начальные условия . Имеем . Решая, получаем . Подставляем начальные условия . - частное решение дифференциального уравнения.

Аналитическое решение в среде Matlab.

>> y=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','y(0)=1','Dy(0)=2','x')

y = exp(2*x)

Численное решение в среде Matlab.

Создаем m.- файл, где задаем условие уравнения:

function dydt=pr7(t,y);

dydt=zeros(2,1);

dydt(1)=y(2);

dydt(2)=y(2).^2./(y(1)+0.0000001); % Для избежания деления на 0 и «зацикливания» программы

Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения.

>> y0=[1 2];

>> tspan=[0 1];

>> [t,y]=ode45('pr7',tspan,y0);

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение , (2.1) где - постоянные величины, называется линейным однородным уравнением - го… где - его линейно независимые частные решения. Последние находятся с помощью характеристического уравнения. (2.3)

Пример 2.1 Решить уравнение .

Решение (аналитическое).

Для данного уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение( при этом нужно сохранить коэффициенты, вместо поставить 1, вместо ее производной -того порядка поставить ): .

Преобразуя правую часть уравнения , получим ,

откуда .

В соответствии с формулой (2.5) получаем общее решение .

Решение в MATLAB.

Аналитическое:

>> dsolve('D3y-2*D2y-Dy+2*y=0')

ans = C1*exp(t)+C2*exp(2*t)+C3*exp(-t)

Численное:

>> y0=[1 1 1 ];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y)

 

Пример 2.2Решить уравнение .

Решение. Составим характеристическое уравнение ,

один из корней которого можно получить методом проб.

Так как ,

то уравнение принимает вид ,

откуда . таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой (однократный ) корень и двукратный корень .В соответствии с формулами (2.6) и (2.2) получаем общее решение .

MATLAB >> dsolve('D3y-7*D2y+15*Dy-9*y=0') ans = C1*exp(t)+C2*exp(3*t)+C3*exp(3*t)*t

>> y0=[2 0.5 0];

>> tspan=[0 10];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y(:,1))

 

Пример 2.3 Решить уравнение .

Решение . Характеристическое уравнение имеет корни Мнимым сопряженным корням и (для которых ,) соответствуют частные решения ,полученные из формул (2.7).

Таким образом, общее решение имеет вид .

Решение в MATLAB

>> dsolve('D4y-16*y=0')

ans = C1*cos(2*t)+C2*sin(2*t)+C3*exp(2*t)+C4*exp(-2*t)

>> y0

y0 = -5.0000 0.3300 7.0000 -5.0000

>> tspan=[0 1];

>> [t,y]=ode45('ex23',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))

 

Пример 2.4 Решить уравнение .

Составим характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению:

.

Преобразуя левую часть этого уравнения , получим или .

Таким образом характеристическое уравнение

имеет один двукратный действительный корень и пару двукратных мнимых сопряженных корней . По формулам (2.8), (2.2) и (2.6) получаем общее решение .

Решение в MATLAB

>> dsolve('D6y+2*D4y+D2y=0')

ans = C1+C2*t+C3*cos(t)+C4*sin(t)+C5*cos(t)*t+C6*sin(t)*t

>> tspan=[0 5];

>> y0=[-1 1 0 -5 0 10];

>> [t,y]=ode45('ex25',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))

 

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами .

Пример 3.2 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни поэтому

Поэтому общее решение выразится формулой .

Методом вариации произвольных постоянных находим общее решение данного неоднородного уравнения, полагая .

Система (3.13) для определения функций запишется так

Умножив обе части второго уравнения на , третьего на и сложив почленно, получим

. Из второго уравнения имеем . Сложив почленно первое уравнение с третьим, получим . Интегрируя три полученных уравнения, находим: ; ; , где - произвольные постоянные.

Следовательно, общее решение данного неоднородного уравнения выразиться формулой

, где .

>> dsolve('D3y+Dy=tan(t)')

ans = 1/2-log(cos(t))-sin(t)*log((1+sin(t))/cos(t))+C1+C2*cos(t)+C3*sin(t)

>> y0=[-10 -1 -1];

>> tspan=[-3 1.5];

>> [t,y]=ode45('ex35',tspan,y0);

>> plot(t,y(:,1))

 

Использование решателей систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в графическом виде в MatLAB

В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила: § F – название ODE-файла, то есть функции от t и y, которая возвращает… § tspan – вектор, определяющий интервал интегрирования [to tfinal]. Для получения решений в конкретные моменты…

Решение систем дифференциальных уравнений в символьном виде в системе MatLAB

По умолчанию независимой переменной считается ‘t’ . Можно использовать и другую переменную, включив ее в конец списка параметров функции dsolve.… Начальные условия задаются в виде равенств ‘y(a) = b’ или ‘Dy(a) = b’, где y -… Пример.Решить систему линейных уравнений .