Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

1.2.1. Теоретическая справка

Дифференциальное уравнение , (2.1)

где - постоянные величины, называется линейным однородным уравнением - го порядка с постоянными коэффициентами., (2.2)

где - его линейно независимые частные решения. Последние находятся с помощью характеристического уравнения. (2.3)

Если характеристическое уравнение имеет действительных различных корней , то каждому из них соответствует частное решение (2.4)

и общее решение уравнения (2.1) принимает вид. (2.5)

Если уравнение (2.3) имеет n действительных равных корней (т.е. корень имеет кратность n), то в формуле (2.2) им соответствуют решения. (2.6)

Однократным комплексно сопряженным корням уравнения (2.3) в формуле (2.2) соответствуют решения: (2.7)

Комплексно сопряженным корням кратности n соответствуют частные решения:

(2.8)

Частные решения уравнения (2.1) образуют ф.с.р. на интервале , если ни в одной очке этого интервала определитель Вронского не обращается в нуль (линейно независимы), в противном случае решения не образуют ф.с.р.

Пример. Образуют ли функции ф.с.р. дифференциального уравнения третьего порядка?

>> a=[x x^2 1];

>> det([a;diff(a);diff(a,x,2)])

ans = 2

Функции roots( )и poly( )

Функции предназначены, соответственно , для вычисления корней полинома и его восстановления по значениям корней. Эти функции имеют вид: roots( Р ), poly( r ), где Р – вектор коэффициентов полинома; r – вектор корней полинома.

Пример.Как выглядит ЛОДУ 2-го порядка, если корни характеристического уравнения .

Решение:

>> poly([2+5i,2-5i])

ans = 1 -4 29

Имеем характеристическое уравнение и ЛОДУ

Пример. Найти корни уравнения

>> roots([1 -4 8 -8 4])

ans =

1.0000 + 1.0000i

1.0000 - 1.0000i

1.0000 + 1.0000i

1.0000 - 1.0000i