рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Абсолютная и условная сходимость

Абсолютная и условная сходимость - раздел Математика, Множество действительных чисел Ряд (1) ...

Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2): составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Остаток данного ряда (1) по абсолютному значению не превосходит соответствующего остатка ряда (2).

Сумма S данного ряда(1) по абсолютному значению не превосходит суммы S' ряда (2). |S|£S'. Равенство имеет место только тогда, когда все члены ряда (1) — одного знака.

 

Замечание 1.Ряд (1) может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

 

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов (в этом случае сходится и данный ряд).

 

Определение 2. Ряд называется условно схо­дящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

 

Замечание 2. Сходящийся ряд, у которого все члены положительны или все члены отрицательны, - абсолютно сходящийся.

 

Исследовать ряд на сходимость:

·

Данный ряд положительный, поэтому применим признак Даламбера.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Множество действительных чисел

Множества... Множество действительных чисел... Виды числовых множеств...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Абсолютная и условная сходимость

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Множества.
  В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоско

Множество действительных чисел.
Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа. Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) ирр

I. Сложение и умножение вещественных чисел
  Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b

II. Сравнение вещественных чисел.
Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше). Отно

III. Непрерывность вещественных чисел.
  13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство

Виды числовых множеств. Окрестность точки.
Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:   Конечные числовые промежутки

Простейшие логические символы
  Þ - знак логического следования aÞb означает «из предложения a следует предложение b» Û - знак рав

Алгебраическая форма комплексного числа.
  Определение 1:Комплексным числом z называется выражение z=а+ib,

Геометрическое изображение комплексных чисел.
  Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой

Тригонометрическая форма комплексного числа.
Обозначим через j и r (r³0) полярные координаты точки А(а, b), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. То

Основные действия над комплексными числами.
  · Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2

Комплексные числа и действия над ними
    В алгебраической форме: z1=а1+i·b1; z2=а2+i·b

Возведение в степень и извлечение корня.
· Возведение комплексного числа в степень Формула Муавра Если п — целое положительное число, то [r(cosj+isinj)]n=rn

Комплексные числа и действия над ними.
    В алгебраической форме: z1=а1+i·b1; z2=а2+i·b

Разложение многочлена на множители.
Определение 1:Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn

Кратные корни многочлена.
Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-а

Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.
  Среди корней многочлена могут быть и комплексные. Теорема 1:Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэфф

Разложение рациональной функции на элементарные дроби.
  Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многоч

Полярная система координат.
Определение 1: Полярная система координат состоит из некоторой точки О - полюса, и исходящего из неё луча ОМ - полярной оси и задаётся единица масштаба для

Понятие функции.
  Пусть X и Y—некоторые числовые множества. Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х;

Числовая последовательность.
Определение 1: Если каждому члену n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел

Прогрессии
  Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Обозначение {аn} а1 –

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
  Определение 1: Последовательность {bn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер

Предел числовой последовательности.
Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью {хn}, если для любого положительного числа e существует номер N т

Предел функции.
Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0

Основные теоремы о пределах.
Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х0 (или при х®х0), если

Непрерывность функции в точке.
Пусть на некотором промежутке X определена функция f(x) и точка х0 принадлежит этому промежутку. Определение 1: Функция

Непрерывность функции на промежутке.
Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в интервале (а; b), если она непрерывн

Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.
  Теорема 1: (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f(х) непрерывна в точке х0 и f(х

Производная функции.
Пусть на некотором промежутке X определена функция y=f(x). Возьмем любую точку х0ÎХ и зададим аргументу х в точке х0

Дифференцирование сложной функции.
Теорема: Если функция х=j(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x

Понятие дифференциала.
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. приращение Dу можно записать в виде суммы двух слагаемых: Dу=АDх+a(Dх

Производные высших порядков.
Производная f¢(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существо

Дифференциалы высших порядков.
  Определение 1: Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка, тогда её дифференциал dy=f&c

Дифференцирование функции заданной параметрически.
  Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:

Продифференцировать функцию: .
Заметим, что данная функция является степенно-показательной функцией и её производную находят только лишь логарифмическим дифференцированием. Логарифмируя по основа

Дифференцирование неявной функции.
  Пусть уравнение, связывающее х и у, определяет у, как неявную функцию х. Для нахождения производной

Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f(x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет н

Правило Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, бы

Возрастание (убывание) функции. Экстремумы.
Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)≥0 (f¢(

Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x

Асимптоты.
Определение 1: Если график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой (при х®±¥ или вблизи точек разрыва второго рода), то такая прямая на

Исследование функции.
1) найти область определения функции; указать промежутки непрерывности; (по возможности указать область значений функции); найти вертикальные асимптоты; 2) исследовать функцию на чётность,

Первообразная
  Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.   Определение 1:

Неопределённый интеграл.
Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольн

Свойства неопределённого интеграла.
  Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени

Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование; 2) Метод подстановки; 3) Метод интегрирования по частям.   1) Непосредственное интегрирование.

Основные свойства неопределённого интеграла.
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов. Метод

Основные свойства определённого интеграла.
Если а=b, то Если а>b, то

Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции. Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
· Для нечётных степеней sinx или cosx применимо правило: Правило 1: Для вычисления интегралов вида:

Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.
Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун

Подстановки Эйлера.
Интегралы вида: рационализируются одной из подстановок Эйлера:  

Определённый интеграл.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1

Основные свойства определённого интеграла.
· Если а=b, то ; · Если а>b, то

Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой

Несобственные интегралы.
Определение 1: Определённый интеграл , где промежуток интегрирования [

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода) Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а, +¥). Если существует конечный предел

Интеграл функции, имеющей разрыв
(несобственный интеграл II рода) Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр

Понятие числового ряда.
Пусть дана числовая последователь­ность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида

Свойства сходящихся рядов.
· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:

Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд

Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где а

Ответ: ряд сходится.
· Применим признак сравнения: Сравним данный ряд с рядом

Степенной ряд.
Сте­ленным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+..., а также ряд более общего вида (2): а

Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х
  Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо

Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а
Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенногопо степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относитель

Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной

Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением

Лекция 17
  §71 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I) Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод

Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,

Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности: Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть

ЛОДУ II с постоянными коэффициентами.
  ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные. Составим характеристическое уравнение аk2+bk+

ЛНДУ II с постоянными коэффициентами.
  ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные. Его общее решение имеет вид:

Свойства сходящихся рядов.
· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:

Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд

Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где аn

Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+..., а также ряд более общего вида (2): а

Расположенного по степеням х
  Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд

Расположенного по степеням х-а
  Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн

Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u

Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности: Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x

ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные. Составим характеристическое уравнение аk2+bk+c=0, кото

ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные. Его общее решение имеет вид:

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги