Дифференциальные уравнения первого порядка - раздел Математика, Множество действительных чисел Определение 1.Уравнение Вида F(X, Y, Y')=0, Где Х — ...
Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Если уравнение можно разрешить относительно у', то оно принимает вид: y' = f(x,y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся частным случаем более общего уравнения (в симметрической форме): P(x,y)dx+Q(x,y)dy =0, где Р(х, у) и Q (х, у) — известные функции.
Уравнение в симметричной форме удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т.е. каждую из них можно рассматривать как функцию от другой.
Определение 2.Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у=j(х), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и является основной в теории дифференциальных уравнений.
Теорема(теорема Коши). Если функция f (x, у) и ее частная производная f'y (x, у) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (х0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y'=f(x, у), удовлетворяющее условиям: у=уо при х=х0.
Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли данное уравнение решение.
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x0; у0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области G уравнение имеет бесконечное число различных решений.
Условия, в силу которых функция у=j(х) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения.
Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.
С геометрической точки зрения решить задачу Коши — значит из множества интегральных кривых выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0; у0) плоскости Оху.
Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.
Определение 3.Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=j(х, С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х0; у0)ÎG, существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что функция у=j(х, С0) удовлетворяет данным начальным условиям j (х0, С)=С0.
Определение 4.Частным решением уравнения в области G называется функция у=j(х, С0), которая получается из общего решения у=у(х, С) при определенном значении постоянной С=С0.
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; у0).
Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.
Геометрический смысл уравнения. Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y'=f(x, у) и пусть функция у=j(х) - его решение. График решения представляет собой непрерывную интегральную кривую, через каждую точку которой можно провести касательную. Из уравнения следует, что угловой коэффициент у' касательной к интегральной кривой в каждой ее точке (х; у) равен значению в этой точке правой части уравнения f(x, у). Таким образом, уравнение y' = f(x, у) устанавливает зависимость между координатами точки (х; у) и угловым коэффициентом у' касательной к графику интегральной кривой в той же точке. Зная х и у, можно указать направление касательной к этой интегральной кривой в точке (х; у). Сопоставим каждой точке (х; у) интегральной кривой направленный отрезок, угловой коэффициент которого равен f(х, у). Получим так называемое поле направлений данного уравнения, раскрывающее геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Итак, с геометрической точки зрения уравнение y'=f(x, у) определяет на плоскости Оху поле направлений, а решение этого уравнения — интегральная кривая, направление касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.
Построив на плоскости поле направлений данного дифференциального уравнения, можно приближенно построить интегральные кривые.
Все темы данного раздела:
Множества.
В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоско
Множество действительных чисел.
Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа.
Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) ирр
I. Сложение и умножение вещественных чисел
Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b
II. Сравнение вещественных чисел.
Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше).
Отно
III. Непрерывность вещественных чисел.
13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство
Виды числовых множеств. Окрестность точки.
Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения:
Конечные числовые промежутки
Простейшие логические символы
Þ - знак логического следования
aÞb
означает «из предложения a следует предложение b»
Û - знак рав
Алгебраическая форма комплексного числа.
Определение 1:Комплексным числом z называется выражение z=а+ib,
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Обозначим через j и r (r³0) полярные координаты точки А(а, b), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. То
Основные действия над комплексными числами.
· Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2
Комплексные числа и действия над ними
В алгебраической форме:
z1=а1+i·b1;
z2=а2+i·b
Возведение в степень и извлечение корня.
· Возведение комплексного числа в степень Формула Муавра
Если п — целое положительное число, то [r(cosj+isinj)]n=rn
Комплексные числа и действия над ними.
В алгебраической форме:
z1=а1+i·b1;
z2=а2+i·b
Разложение многочлена на множители.
Определение 1:Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn
Кратные корни многочлена.
Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители
Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-а
Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.
Среди корней многочлена могут быть и комплексные.
Теорема 1:Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэфф
Разложение рациональной функции на элементарные дроби.
Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многоч
Полярная система координат.
Определение 1: Полярная система координат состоит из некоторой точки О - полюса, и исходящего из неё луча ОМ - полярной оси и задаётся единица масштаба для
Понятие функции.
Пусть X и Y—некоторые числовые множества.
Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х;
Числовая последовательность.
Определение 1: Если каждому члену n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел
Прогрессии
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Обозначение
{аn}
а1 –
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
Определение 1: Последовательность {bn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер
Предел числовой последовательности.
Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью {хn}, если для любого положительного числа e существует номер N т
Предел функции.
Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0
Основные теоремы о пределах.
Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х0 (или при х®х0), если
Непрерывность функции в точке.
Пусть на некотором промежутке X определена функция f(x) и точка х0 принадлежит этому промежутку.
Определение 1: Функция
Непрерывность функции на промежутке.
Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в интервале (а; b), если она непрерывн
Всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения.
Теорема 1: (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f(х) непрерывна в точке х0 и f(х
Производная функции.
Пусть на некотором промежутке X определена функция y=f(x). Возьмем любую точку х0ÎХ и зададим аргументу х в точке х0
Дифференцирование сложной функции.
Теорема: Если функция х=j(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x
Понятие дифференциала.
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. приращение Dу можно записать в виде суммы двух слагаемых:
Dу=АDх+a(Dх
Производные высших порядков.
Производная f¢(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существо
Дифференциалы высших порядков.
Определение 1: Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка, тогда её дифференциал dy=f&c
Дифференцирование функции заданной параметрически.
Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:
Продифференцировать функцию: .
Заметим, что данная функция является степенно-показательной функцией и её производную находят только лишь логарифмическим дифференцированием.
Логарифмируя по основа
Дифференцирование неявной функции.
Пусть уравнение, связывающее х и у, определяет у, как неявную функцию х. Для нахождения производной
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f(x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет н
Правило Лопиталя.
Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, бы
Возрастание (убывание) функции. Экстремумы.
Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)≥0 (f¢(
Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x
Асимптоты.
Определение 1: Если график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой (при х®±¥ или вблизи точек разрыва второго рода), то такая прямая на
Исследование функции.
1) найти область определения функции; указать промежутки непрерывности; (по возможности указать область значений функции); найти вертикальные асимптоты;
2) исследовать функцию на чётность,
Первообразная
Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1:
Неопределённый интеграл.
Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольн
Свойства неопределённого интеграла.
Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени
Основные методы интегрирования.
1) Непосредственное интегрирование;
2) Метод подстановки;
3) Метод интегрирования по частям.
1) Непосредственное интегрирование.
Основные свойства неопределённого интеграла.
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.
Основные методы интегрирования.
Непосредственное интегрирование
Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов.
Метод
Основные свойства определённого интеграла.
Если а=b, то
Если а>b, то
Интегрирование рациональных функций.
Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции.
Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:
Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
· Для нечётных степеней sinx или cosx применимо правило:
Правило 1:
Для вычисления интегралов вида:
Некоторые интегралы, зависящие от радикалов.
Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун
Подстановки Эйлера.
Интегралы вида:
рационализируются одной из подстановок Эйлера:
Определённый интеграл.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1
Основные свойства определённого интеграла.
· Если а=b, то ;
· Если а>b, то
Формула Ньютона Лейбница.
Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой
Несобственные интегралы.
Определение 1: Определённый интеграл , где промежуток интегрирования [
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
(несобственный интеграл I рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а, +¥). Если существует конечный предел
Интеграл функции, имеющей разрыв
(несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр
Понятие числового ряда.
Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
Свойства сходящихся рядов.
· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд
Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где а
Абсолютная и условная сходимость
Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2):
Ответ: ряд сходится.
·
Применим признак сравнения:
Сравним данный ряд с рядом
Степенной ряд.
Стеленным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): а
Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х
Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо
Промежуток и радиус сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а
Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенногопо степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относитель
Разложение функций в степенной ряд
Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной
Лекция 17
§71 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I)
Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть
ЛОДУ II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные.
Составим характеристическое уравнение аk2+bk+
ЛНДУ II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид:
Свойства сходящихся рядов.
· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд
Знакопеременный ряд. Признак Лейбница
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где аn
Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): а
Расположенного по степеням х
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд
Расположенного по степеням х-а
Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.
Метод Бернулли.
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u
Метод Лагранжа (метод вариации постоянной).
Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности:
Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x
ЛОДУ−II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные.
Составим характеристическое уравнение аk2+bk+c=0, кото
ЛНДУ−II с постоянными коэффициентами.
ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид:
Новости и инфо для студентов