Параксиальные и нулевые лучи

Реальные оптические системы в общем случае не удовлетворяют требованиям идеальной оптической системы. Гомоцентричность пучка лучей сохраняется только при условии, что углы s и e, образуемые реальными лучами с оптической осью и с нормалью к поверхности, бесконечно малы, т.е.

tgs » sins » s ; tge » sine »e ;

tgs’ » sins’ » s’; tge’ » sine’ » e’

Тогда выражения, определяющие ход луча через поверхности можно записать следующим образом:

для плоской поверхности

 

 

s = e; s’ = e’; tge=h/S; tge’=h/S’; nsine=n’sine’; подставляем вместо sin tg

n’/S’ - n/S =0 ; (1)

 

для сферической преломляющей поверхности

 

 

Закон преломления запишем в виде: ne=n’e’.

Из рис. найдем угол e’: e= j - s; e’ = j - s’;

Вследствие малости углов пренебрегаем стрелкой прогиба поверхности:

s=h/S; j=h/r; s’= h/S¢.

Подставляем в закон преломления:

n’/S’ - n/S = (n’-n)/r; (2)

для сферической отражающей поверхности 1/S’ +1/S = 2/r . (3)

Преобразуя соотношение (2) получим связь фокусных расстояний. Положим S=-¥, тогда S’=f’ и n’/f’=(n’-n) /r;

положим S’=-¥, тогда S=f и -n/f=(n’-n) /r.

Приравняем левые части и получаем

n’/f’=-n/f.

Определим линейное увеличение, с которым поверхность изображает предмет, находящийся в точке А.

 

Из подобия треугольников при центре кривизны С:

y’/y=b=(S’-r)/(-S+r)=-( S’-r)/(S-r).

Перегруппируем члены в соотношении(2):

n’S(r-S’)=nS’(r-S); ( S’-r)/(S-r)= nS/n’S= -b;

b=- nS/n’S.

Лучи, образующие малые углы с оптической осью и малые углы с нормалью к преломляющей или отражающей поверхности, называются параксиальными лучами, а область в окрестностях оси или нормали, внутри которой распространяются эти лучи, называется параксиальной областью.

Соотношения (1)-(3) называются уравнениями параксиальных лучей.

Выражение (2) можно записать, перегруппировав члены:

n*(1/r - 1/ S) = n’*(1/r -1/S’) = Q . (4)

Величину Q называют параксиальным инвариантом Аббе для сферической преломляющей поверхности. Инвариант Q для двух сопряженных точек, находящихся на оптической оси, есть константа, не зависящая от углов s и s’. Однако эта величина меняется с изменением положения сопряженных точек и при переходе от одной поверхности к другой, т.е. Q не является полным инвариантом.

Инвариант Лагранжа-Геймгольца (n×y×tg s= n’×y’×tg s’) для параксиальной области запишется следующим образом:

I=nsdy=n’s’dy’. (5)

Это полный инвариант.

Параксиальные лучи неудобны для расчета из-за малости величины, поэтому введено понятие нулевых лучей. Нулевым лучом называют фиктивный луч, преломляющийся или отражающийся так же, как и параксиальный, но встречающий поверхность на конечном расстоянии от оптической оси и отсекающий на оптической оси те же отрезки, что и параксиальный луч. Высоты отмеряются на перпендикуляре к оптической оси в вершине поверхности.

 

 

 

 

Углы a и a’ нулевых лучей близки к углам s и s’, образованных реальными лучами, но отличаются от них тем, что предусматривают получение безаберрационного изображения. Запишем инвариант Аббе в виде:

n’/S’ - n/S = (n’-n)/r.

Умножим обе части на h и учтем, что

h/S’= tga’; h/S= tga,

тогда: tga’= n tga/n’ + h(n’-n)/n’r - уравнение углов нулевого луча.

Для системы к+1 преломляющих поверхностей