Производящая функция

Пусть ап, п принадлежит N – последовательность. Этой последовательности поставим в соответствии ряд по целым числам Z. F*(z)=a+az+az +…+az+…

Предположим, что всегда существует неотрицательное α, для которого │ап│<α, и в этом случае всякой последовательности ап однозначно соответствует ряд f*(z) по целым степеням z. Соответствие между ап и f*(Z) в этом случае взаимно одно значимо, f*(Z) называется производящей функцией последовательности ап. Последовательность ап , представляет собой функцию от п, п=0,1. Обозначим ее через f(п) и будем повторять, что между совокупностями f(п) и f*(z) существует взаимно значимое соответствие.

Вводятся также производящие функции вида f(z)=a +a +a z/2+…+a z/п +п, называемые экспотенциольными производящими функциями.

f* и f допускает следующее обобщение φ*(z)=a φ (z)+a φ (z)+…+a φ(z)

Следующий частный случай:

φ(z)=1, φ(z)=z, φ (z)=z(z-1),…φ (z)=z(z-1)(z-n+1),…,φ*(z)=a +a +a (z-1)+…a (z-1)(z-n+1)/

распространяете на случай других многих переменных.

Производящую функцию f*(x)=“называют преобразованием в Z” или Z – преобразованием. Иногда используют следующую функцию: (z) =, называемую отрицательным z-преобразованием.

Кроме того используются экспонеидеальное z-преобразование: . Пример. Пусть f(n)=1, n=0,1,2,…Тогда f*(z)=. Имеем z-преобразование для f(n)=1 будет .

Пусть ,тогда .

Существуют таблицы основных преобразований. Существует и обратное преобразование, т.е. коэффициенты разложения f*(z) в ряд Тейгора образует исходную последовательность f(n)/

Z-преобразование приводит к некоторому «символическому исчислению» или «…………….. исчислению» аналогично тому, которое получается с помощью преобразования Лапаса ( или Карсона – Лапаса) для функций непрерывных на отрезке, хотя Z-преобразование и применяется к последовательности.