Определение перемещений в балках при изгибе
Определение перемещений в балках при изгибе
Имеем закон Гука при изгибе: 
, где r(х) — радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении х, М(х) — изгибающий момент в том же сечении, EJ — жесткость балки. Из высшей математики известно: 
— дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. 
— тангенс угла между осью х и касательной к изогнутой оси. Эта величина очень мала (прогибы балки малы) Þ ее квадратом пренебрегают и угол поворота сечения приравнивают тангенсу. Приближенное дифференциальное ур-ние изогнутой оси балки: 
. Если ось y направлена вверх, то знак (+). В некоторых вузах ось y направляется вниз Þ(—). Интегрируя дифф. уравнение, получаем: 
— ур-ние углов поворота, интегрируем второй раз: 
— получаем ур-ние прогибов. Постоянные интегрирования С и D находятся из граничных условий, которые зависят от способов закрепления балки.
Метод начальных параметров. Начало координат выбирают в крайней левой точке. При включении в уравнение момента М, который приложен на расстоянии "а" от начала координат, его умножают на множитель (х — а)0, который равен 1. Любую распределенную нагрузку продлевают до конца балки, а для ее компенсации прикладывают нагрузку обратного направления. Для рис.:
EJ
= M(x) = RA×x – 
– M(x – a)0 + 
– P(x – a – b); интегрируем:
EJ
= EJq0 + RA×
– 
– M(x – a) + 
– P
;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA×
– 
– M
+ 
– P
.
Начальные параметры — то, что мы имеем в начале координат, т.е. для рис.: М0=0, Q0=RA, прогиб y0=0, угол поворота q0¹0. q0 находим из подстановки во второе уравнение условия закрепления правой опоры: x=a+b+c; y(x)=0.
Дифференциальные зависимости при изгибе:
; 
; 
; 
.
Определение перемещений способом фиктивной нагрузки. Сопоставляя уравнения:
и 
имеем аналогию, Þ определение прогибов можно свести к определению моментов от некоторой фиктивной (условной) нагрузки в фиктивной балке: 
. Момент от фиктивной нагрузки Мф после деления на EJ равен прогибу "y" в заданной балке от заданной нагрузки. Учитывая, что и 
, получаем, что угол поворота в заданной балке численно равен фиктивной поперечной силе в фиктивной балке. 
, 
. При этом должна быть полная аналогия в граничных условиях двух балок. Каждой заданной балке соответствует своя фиктивная балка. Закрепление фиктивных балок выбирается из того условия, чтобы на концах балки и на опорах имелось полное соответствие между "y" и "q" в заданной балке и Мф и Qф в фиктивной балке. Если эпюры моментов как в действительной, так и в фиктивной балках строить со стороны растянутого волокна (т.е. положительный момент откладывать вниз), то линии прогибов в заданной балке совпадает с эпюрой моментов в фиктивной балке.