Реферат Курсовая Конспект
Моделирование и проектирование в инфокоммуникационных технологиях - раздел Математика, И.а.оболонин ...
|
И.А.Оболонин
Введение
С развитием системных исследований, с расширением экспериментальных методов изучение реальных явлений все большее значение приобретают абстрактные методы, появляются новые научные дисциплины, автоматизируются элементы умственного труда.
Важное значение при проектировании реальных систем имеют математические методы анализа и синтеза. Однако было бы неправильно забывать о том, что основным критерием любой теории является практика, и даже сугубо математические, отвлеченные науки базируются в своей основе на фундаменте практических знаний. Одновременно с развитием теоретических методов анализа и синтеза совершенствуются и методы экспериментального изучения реальных объектов, появляются новые средства исследования. Эксперимент был и остается одним из основных инструментов познания. Подобие и моделирование позволяют по-новому описать реальный процесс и упростить экспериментальное его изучение.
Известно, что сложные системы, к которым относятся системы телекоммуникаций и мультимедиа, могут быть разбиты на следующие типы: технические, экономические, биокибернетические и социальные [Ивченко Б.П., МартыщенкоЛ.А., Монастырский М.Л. Теоретические основы информационно-статистического анализа сложных систем. – СПб.: Лань, 1997. – 320 с.].
Авторы данного учебника не ставили перед собой задачу ознакомить читателей с методами проектирования, а, следовательно, и моделирования (т.к. эти процессы неразрывны) всех вышеперечисленных типов сложных систем. Целью данного учебника является ознакомить читателя с мировоззренческими и практическими аспектами теории моделирования.
Структуры современных технических систем отличаются большим разнообразием и сложностью. В связи с этим перед разработчиками систем возникает ряд серьезных проблем, связанных, в частности, с проведением на начальных стадиях проектирования качественного и количественного анализа эффективности функционирования систем.
Немаловажную роль при этом играют средства контроля работоспособности и поиска неисправности, которые основываются на методах моделирования сложных систем и их диагностирования.
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ
Классификация радиотехнических устройств
Иерархия построения радиотехнической системы может быть представлена в виде своеобразной пирамиды (рис. 1.2).
Рис. 1.2 Иерархия радиотехнической системы
Нижний уровень «пирамиды» составляет элементная база (транзисторы, диоды, конденсаторы, микросхемы и десятки иных наименований). Из них составляются звенья (например, LC-контур), объединяемые в функционально законченные цепи-каскады (усилители, автогенераторы, модуляторы и т.п.).
Следующий уровень – блоки, например, блок усиления мощности ВЧ колебаний, блок обработки сигнала, линейный тракт радиоприемника и т.д.
Еще более высокий этаж «пирамиды» включает функционально законченные устройства – радиоприемники, радиопередатчики, радиостанции, радиолокаторы и т.д., которые работают самостоятельно в составе различных радиотехнических систем (например, система радиосвязи, радиовещания, радиолокации).
В случае применения в устройствах только интегральных микросхем три нижние уровня объединяются в один.
Физические процессы, связанные с преобразованием сигналов, протекают на всех уровнях «пирамиды». Исследование процессов можно проводить в частотной и временной областях.
Каскады и звенья, применяемые в радиотехнических устройствах, вне зависимости от их назначения, можно классифицировать по четырем основным признакам:
1. Влияния амплитуды, сигнала на их параметры и характеристики, что приводит к делению всех объектов на линейные и нелинейные;
2. Отсутствие или наличие в них электронных приборов, что делит их на пассивные и активные;
3. Взаимодействия с внешними сигналами – автономного или неавтономного типа;
4. Диапазоны частот и используемые в этой связи элементы – с сосредоточенными или распределенными постоянными.
Отличительные признаки устройств согласно данной классификации
Линейные и нелинейные устройства –определяющий признак деления – это зависимость их параметров ихарактеристик от амплитуды сигнала.
В линейных устройствах такая зависимость отсутствует, в нелинейных – имеет место.
Нелинейным звеном в большинстве случаев является электронный прибор. В линейных устройствах, как правило, амплитуда сигнала относительно невелика – режим «малого» сигнала.
Напротив, в нелинейных устройствах, как правило, амплитуда сигнала сравнительно велика и имеет место режим «большого» сигнала.
Работа линейных устройств описывается одним или системой линейных дифференциальных уравнений, а нелинейных – нелинейными дифференциальными уравнениями.
Устройства пассивного и активного типа
Отличительным признаком активного устройства является преобразование в нем энергии из одного вида в другой. В состав активных устройств обязательно входят электронные приборы.
(В состав пассивных устройств входят: резисторы, конденсаторы, индуктивности, резонаторы и т.д.).
Устройства автономного и неавтономного типа
Признаки устройств неавтономного типа:
1) Зависимость выходного сигнала от входного;
2) Изменение параметров входного сигнала при его прохождении через устройство (в усилителях повышается мощность сигнала, в преобразователях изменяется частота).
Признаком устройств автономного типа является отсутствие внешнего воздействия (в них выходной сигнал определяется только свойствами самого устройства) – пример автогенератор.
Устройство с элементами сосредоточенного и распределенного типа
Элементы с распределенными постоянными – это волноводы и объемные резонаторы, отрезки фидерных (коаксиальных, полосковых и микрополосковых) линий.
Анализ устройств с элементами сосредоточенного типа базируется на обыкновенных дифференциальных уравнениях, а с распределенными постоянными – на дифференциальных уравнениях с частными производными.
Пример.
Прагматические модели: планы, устав организаций, кодексы законов, экзаменационные билеты и др. Познавательные модели: теория электрических цепей, теория электромагнитного поля, теория сигналов и др. Не следует абсолютизировать приведенную классификацию. Например, детская игрушка или карта местности имеют признаки обеих моделей.
Способы воплощения моделей
Рассмотрим теперь, какими средствами выражаются отношения между отображаемым и отображающим объектами и из какого «материала» строятся модели.
Условия реализации свойств моделей
Для того чтобы модель отвечала своему назначению, необходимо обеспечить соответствующие условия для ее функционирования. Их отсутствие лишает модель ее модельных свойств.
Пример.
1) Бумажные деньги могут играть роль модели стоимости пока в среде их обращения существуют правовые нормы и финансовые учреждения, поддерживающие их функционирование. Царские ассигнации и «керенки» может быть и имеют историческую ценность, но уже не как деньги.
2) Программа для ЭВМ дает результат только при определенных условиях и малейшее рассогласование в ней с языком машины полностью обесценивает программу.
Вывод: для реализации свойств модельных функций необходимо, чтобы модель была согласована со средой, в которой ей предстоит функционировать, входила в эту среду не как чуждый ей элемент, а как ее естественная часть.
Соответствие между моделью и действительностью в аспекте различия
Основные типы моделей
Глава 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Методы моделирования можно классифицировать в соответствии со следующими критериями:
1. По характеру изучаемых процессов:
· детерминированное – предполагается отсутствие всяких случайных воздействий и, как следствие, возможны точные решения;
· стохастическое – учитываются случайные факторы, влияющие на работу моделируемой системы (вероятностные оценки).
2. По признаку развития процессов во времени:
· статическое – описание моделируемой системы в какой-либо конкретный момент;
· динамическое – отражает поведение объекта во времени.
3. По представлению информации в модели:
· дискретное, непрерывное, дискретно-непрерывное.
С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимают модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, а под аналого-цифровой – модель, связывающая аналоговые и цифровые величины.
4. В зависимости от формы представления объекта моделирования можно выделить реальное и мысленное.
Реальное – объект есть или его можно создать.
Мысленное – если объект моделирования не существует, либо существует вне условий для его физического создания.
Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель.
Под математическим моделированием следует понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. Исследование этой модели, позволяет получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.
Любая математическая модель описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности, математическое моделирование можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.
Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.
Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:
а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;
б) численным, когда, не умея решать уравнений в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных;
в) качественным, когда не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).
Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными. Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами.
Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер.
Численный метод особенно эффективен при использовании компьютеров.
В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории математического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.
При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Это позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы.
Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач.
Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапе ее проектирования.
Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных подпроцессов строятся имитационные модели.
Математическая модель системы – это совокупность соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических соотношений), определяющих характеристики состояний в зависимости от ее внутренних параметров – начальных условий, входных сигналов, случайных факторов и времени.
Пример: Возьмем некоторую простую систему регулирования, структурная схема которой представлена на рис. 3.1.
Рис. 3.1 Система регулирования
Математической моделью системы является дифференциальной уравнение
или
Характеристики состояния системы
Функционирование системы заключается в изменении характеристик состояния во времени. В некоторых случаях характеристики состояния могут определяться в виде явных функций от параметров системы, входных сигналов, начальных условий и времени. В других случаях модель представляет собой систему уравнений относительно характеристик состоянии системы и выходных сигналов. При этом параметры входят в коэффициенты уравнений, а входные сигналы – в их правые части.
Вид математической модели определяется природой реального объекта, и теми задачами, для решения которых строится модель, а также требуемой точностью их решений. Поэтому необходимо исследование полученной модели с целью определения области ее наиболее эффективного использования при решении инженерной задачи и установления границ изменения переменных, в которых она справедлива.
Рассмотрим в качестве примера построение модели Солнечной системы.
Наблюдение за звездным небом начались еще в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего разнообразия небесных светил. Следовательно, первым шагом было выявление объекта исследования. Другим шагом стало выявление закономерности движения планет, то есть «аксиом» гипотетической модели. Сначала была создана модель Птолемея (II ст. до н.э.) – геоцентрическая модель. В ней Солнце и планеты двигались вокруг Земли. Эти движения описывались с помощью правил (формул), но по мере накопления результатов наблюдения они постоянно усложнялись.
М.Коперник в 1543 году предложил принципиально новую модель Солнечной системы – гелиоцентрическую. В ней все планеты вращаются вокруг Солнца.
Однако эта модель еще не было математической, поскольку не было параметров модели (скоростей движения планет, параметров орбит и т.д.).
В XVII в. Кеплер сформулировал законы движения планет. Они описывали кинематику движения каждой планеты в отдельности, не касаясь причин, вызывающих это движение.
И.Ньютон во 2-й половине XVII века предложил динамическую модель Солнечной системы. Она базировалась на открытом им законе всемирного тяготения. Динамическая модель Ньютона согласовалась с кинематической моделью Кеплера.
Однако в 40-х годах XIX ст. результаты динамической модели стали противоречить накопленным результатам наблюдений. Например, движение планеты Уран отклонялось от теоретически вычисленного движения на модели. Это позволило Леверье в 1846 г. предсказать новую планету – Нептун, которая влияет на движение планеты Уран. Позже в том месте, на которое указал Леверье, действительно была открыта планета Нептун.
Подобным образом была предсказана и позже открыта в 1930 г. планета Плутон. Одновременно в открытием новых планет, совершенствовалась и модель Солнечной системы.
Компонентные и топологические уравнения электрической цепи
Математическая модель любой электрической цепи состоит из компонентных и топологических уравнений этой цепи.
Глава 4. Особенности компьютерных моделей
Компьютерная модель обладает особыми свойствами по сравнению с математической моделью. Она не является просто записанной на другом языке – языке компьютера математической моделью.
Компьютерная модель имеет две составляющие – программную и аппаратную (рис. 4.1).
Рис. 4.1 Компьютерная модель
Программная составляющая (моделирующая программа) является абстрактной знаковой моделью специального вида, которая интерпретируется физическим устройством – процессором компьютера и «выполняется». В результате мы наблюдаем некоторый физический процесс, в частности движение образов на экране, которые интерпретируем как поведение модели. Под компьютером в данном случае достаточно понимать любое устройство, состоящее из программной и аппаратной частей, способное интерпретировать и выполнять программы. Это может быть и суперкомпьютер, и встроенный микропроцессор с «зашитой» в его память программой.
Совокупность компьютера и моделирующей программы является уже физическим устройством и, таким образом, компьютерное моделирование можно считать особым видом физических моделей.
К свойствам физической модели на базе компьютеров можно отнести:
1) почти неограниченная сложность моделей;
2) разделение модели на «мягкую» часть (программное обеспечение), которую необходимо менять при переходе к другой модели, и «жесткую» часть (аппаратуру и операционную систему), которая остается неизменной.
Компьютерная модель, таким образом, в определённых условиях может выступать в качестве имитатора реального объекта. Слово «imitatio» (лат.) означает – подражание, подделка. Компьютерную модель можно «подключать» к другим реальным объектам точно так, как её физические прототипы. Это свойство компьютерных моделей позволяет использовать их в составе полунатурных моделей, собранных из реальных устройств и имитаторов реальных устройств, используемых при создании и испытании сложных технологических систем.
Следует отметить, что компьютерные модели могут создаваться не обязательно на основе математических моделей. В их основе могут лежать записанные на языке программирования представления об объекте, существующие в сознании разработчика (пунктирная линия на рис. 4.2).
Если назначение такой модели – создание на её основе математической модели и затем её реализация на вычислительной машине (сплошная линия на рис. 4.2), то такое моделирование в последнее время называют имитационным. Имитационное моделирование в этом смысле – это ещё один этап компьютерного моделирования, когда имеют дело с трудно формализуемой моделью.
Рис. 4.2 Варианты компьютерной модели
Глава 5. ОСОБЕННОСТИ РАДИОСИСТЕМЫ КАК ОБЪЕКТА ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДАМИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ЭВМ
Объектами изучения методами моделирования являются радиосистемы и устройства. Радиосистемой называется совокупность технических средств, предназначенных для выполнения определенного круга задач, в которой при обмене информацией между отдельными частями системы используются радиосигналы s=s(t,λ), способные переносить информационные процессы λ = λ(t).
Классы радиосистем
Информационная сущность, являющаяся важной особенностью радиосистем определяется их функциональным назначением. С этой точки зрения радиосистемы подразделяют на следующие классы:
· системы передачи информации (СПИ) от отправителя к получателю;
· радиолокационные системы (РЛС), обеспечивающие обнаружение, сопровождение движущихся объектов и измерение их координат;
· радионавигационные системы (РНС), предназначенные для определения местоположения движущихся объектов на самих объектах;
· радиосистемы управления (РСУ) технологическими процессами и различными объектами на расстоянии;
· системы радиоразведки (СРР), обеспечивающие обнаружение радиосигналов, излучаемых различными радиосредствами, анализ и измерение их параметров и определение направления их прихода;
· системы радиопротиводействия (СРП), используемые для разрушения полезной информации в точке приема радиосигналов с целью нарушения нормального функционирования заданной радиосистемы.
Для решения практических задач отдельные радиосистемы часто приходится объединять в комплексы. Современные комплексы радиосистем обычно содержат несколько радиосистем из перечисленных выше классов. Примерами таких комплексов являются системы передачи информации через ИСЗ, автоматизированные комплексы радиосистем гидрометеослужбы и т. п. В процессе проектирования отдельных радиосистем, работающих в составе комплексов, часто приходится рассматривать их во взаимодействии с другими радиосистемами. Так, например, в состав спутникового комплекса систем радиосвязи входят многоканальные СПИ, РЛС, обеспечивающие сопровождение спутников-ретрансляторов. Комплексы радиоуправления летательными аппаратами могут содержать РНС, РЛС, СПИ. Необходимо также учитывать вопросы их электромагнитной совместимости, а также наличие систем радиоразведки и радиопротиводействия.
Радиосистемы относятся к весьма специфичному классу систем. При исследовании и проектировании подобных систем методами моделирования на ЭВМ мы встречаемся с проблемой сложности, которая проявляется в том, что это:
· многомерные системы с очень большим числом элементов, функциональных связей между ними и статистическим характером их возникновения;
· системы, находящиеся под постоянными случайными воздействиями;
· быстродействующие системы, в которых имеют место преобразования радиосигналов одновременно со сравнительно медленно протекающими информационными процессами.
При проектировании радиосистем необходимо учитывать значительное число показателей качества.
Указанные обстоятельства приводят к тому, что без применения специальных методов упрощения математического описания моделирование радиосистем на ЭВМ оказывается практически невозможным. При этом необходимо решить следующие основные задачи, непосредственно связанные с оптимизацией процесса моделирования радиосистем на ЭВМ.
1. Разработка теории формирования математических моделей радиосистем минимальной сложности при условии обеспечения заданной точности на различных информационных уровнях их описания. При оптимизации структуры математических моделей радиосистем должны быть решены такие важные вопросы, как:
· минимизация размерности модели и упрощение связей между ее компонентами, что обусловлено выбором соответствующего способа декомпозиций радиосистемы при формировании ее модели;
· оптимизация способа дискретизации процессов в модели и методов цифрового моделирования элементов радиосистемы;
· минимизация числа реализаций процесса функционирования модели при условии получения достоверной информации о радиосистеме.
2. Развитие прогрессивных методов моделирования, позволяющих за минимальное время извлечь максимум информации об исследуемой радиосистеме. К ним, в частности, относятся методы разработки алгоритмов и сервисных программ, обеспечивающих автоматический поиск лучшего решения, оптимальных параметров радиосистемы при заданной структуре, оптимальной структуры радиосистемы по заданному критерию.
3. Создание систем автоматизированного проектирования радиосистем (САПР), в которых используются методы автоматизированного математического моделирования и диалоговые режимы и процедуры.
Глава 6. ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ MATHCAD ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ УСТРОЙСТВ
Содержание командных меню (2-ая строка)
Частично содержание меню совпадает со стандартным набором «Windows-приложений».
Поэтому дадим краткую характеристику стандартным для «Windows» меню и более подробно остановимся на содержании меню, относящихся только к MathCAD.
Идущая после заголовка составляемой или вызванной программы строка текстового окна содержит названия девяти командных меню:
Файл – Правка – Вид – Вставка – Формат – Математика – Символы –
File Edit View Insert Format Math Symbolics
– Окно – Справка
Window Help
Их вызов и раскрытие осуществляется принятым в «Windows» способом (установление курсора на соответствующем названии меню и одним щелчком левой клавиши «мыши». Закрывается меню следующим щелчком – курсор в любом месте экрана).
Меню «Файл» (File). Здесь расположены команды, связанные с исправлением текста: его полным или частичным устранением, переносом в другое место и копированием.
Меню «Вид» (View). Это меню содержит подменю, специфические для пакета «MathCAD».
В первую очередь сюда относится подменю «Панели инструментов», содержание которого представлено на рис. 6.2.
Рис. 6.2 Подменю «Панели инструментов»
Установив курсор в начале каждой из строк «Панели инструментов» (рис. 6.2), щелчком левой клавиши мыши можно вызвать или наоборот убрать «птичку».
Наличие последней указывает на исполнение данной команды.
Так, наличие «птички» перед строкой «Стандартные» вызывает появление 3-й строки рабочего листа, а перед строкой «Форматирование» - 5-ой строки.
Наличие «птички» перед строкой «Математика» вызывает появление панели с пиктограммами (кнопками), которым соответствуют названия, перечисленные в подменю «Математика».
Рис. 6.3 Кнопки подменю «Математика»
Если установить «птичку» перед каждой из строк в этом подменю, или произвести щелчок по соответствующей пиктограмме на панели «Математика», то на рабочем листе появится так называемая панель инструментов с указанием конкретных математических операций, преобразований или действий, которые могут быть выполнены с ее помощью.
Всего последовательно можно вызвать 10 панелей инструментов, перечисленных на рис. 6.3 (некоторые раскрыты на рис. 6.4).
Рис. 6.4 Панели инструментов
Изменение масштаба документа
Иногда желательно изменить масштаб отображения документа. Для этого служит команда «Zoom» (масштаб) меню «View» (Вид). Она позволяет вывести окно с переключателями доступных масштабов (рис. 6.7).
Рис. 6.7 Переключатели масштабов
Вопросы для самоконтроля
1. Правила удаления математических выражений.
2. Правила копирования математических выражений.
3. Правила переноса математических выражений.
4. Правила вписывания в программу текстовых комментариев.
Построение графиков в декартовой системе координат
Пример 1
Требуется построить график функции:
Y(t) = β · e(–α · t) · sin ( 2 · π · F1 · t) ,
в пределах изменения аргумента t от 0 до 5 при:
β = 10, F1 = 5, α = 0.5,
Вызываем панели «Арифметика» и «Греческий алфавит».
В рабочей области текстового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам MathCAD исходные данные и функцию:
Вызываем панель «Графики», щелчок по пиктограмме «Декартов график», в месте установки красного визира появляется прямоугольная рамка с осями абсцисс и ординат.
График должен располагаться ниже формулы.
На месте черного квадратика, расположенного внизу оси абсцисс вписываем имя аргумента – t, а слева от оси ординат – имя функции Y(t).
Устанавливаем требуемые крайние значения аргумента по оси абсцисс (0…5) и функции по оси ординат (-10…10).
После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика.
Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчками левой клавиши «мыши» вызываем диалоговое окно, позволяющее выбирать:
· вид масштаба по осям (равномерный или логарифмический);
· количество вспомогательных линий координатной сетки;
· толщину, вид и цвет графика.
В результате получаем график заданной функции, представленный на рис. 6.26.
Рис.6.26 График функции Y(t)
Пример 2
Требуется построить график полинома Чебышева 1-ого рода 6-го порядка:
F(x) = 32 · x6 – 48 · x4 + 18 · x2 –1
в пределах изменения аргумента х от -2 до +2.
Вызываем панель «Арифметика». В рабочей области текстового окна в месте установки красного визира записываем согласно правилам MathCAD исходную функцию:
Вызываем панель «График», делаем щелчок по пиктограмме «Декартов график». В месте установки красного визира появляется прямоугольная рамка с осями абсцисс и ординат.
График должен располагаться ниже формулы (рис. 6.27).
Рис.6.27 График полинома Чебышева
На месте черного квадратика, расположенного внизу оси абсцисс, вписываем имя аргумента – х, а слева от оси ординат – имя функции F(x).
Устанавливаем требуемые крайние значения аргумента по оси абсцисс и функции по оси ординат.
После щелчка вне прямоугольной рамки происходит автоматическое построение графика.
Установив курсор внутри прямоугольной рамки, двумя щелчками левой клавиши «мыши» вызываем диалоговое окно:
· выбираем логарифмический масштаб по оси ординат;
· количество линий координатной сетки;
· толщину, вид и цвет графика.
Можно построить графики заданной функции при равномерном и логарифмическом масштабе по оси ординат.
Примеры
1. Вычислить косинус угла, равного 0,5 радиана.
Вызываем панель «Арифметика», щелчок по кнопке «cos». В рабочей области текстового окна появляется выражение:
cos ( )
Вписывается внутрь скобок число 0,5 – получаем:
cos (0.5)
Вводим знак ( = ), после чего автоматически получаем результат:
cos (0.5) = 0.878
В меню математика должен стоять автоматический расчет (либо щелкнуть «вычисление») (автоматическое вычисление).
2. Вычислить определенный интеграл от функции sin2(x) в пределах изменения аргумента от 0,5 до 2.
Вызываем панель «Матанализ» («Исчисления»), щелчок по пиктограмме, на которой изображен определенный интеграл.
В рабочей области текстового окна в месте установки красного визира появляется выражение:
Вписываем в него значения верхнего и нижнего пределов интегрирования, а под знаком интеграла заданную функцию, вводим знак =, после чего автоматически получаем результат:
3. Получить из заданной матрицы размером 3х3 транспонированную матрицу.
Вызываем панель инструментов «Матрица» (меню «Вид» → подменю математика).
На ней делаем щелчок по пиктограмме, на которой изображена матрица.
В рабочей области текстового окна в месте установки красного визира появляется диалоговое окно, в котором после слов «строки» и «столбцы» вписываем заданные числа: 3 и 3.
После нажатия на кнопку «ОК» или «Вставить» в тексте программы появляется матрица выбранной размерности. Вписываем в ячейки матрицы требуемые числа.
Обрамляем с помощью курсора всю запись пунктирной линией и щелкаем по пиктограмме MТ, означающей выполнение операции по транспонированию матрицы.
Вводим знак равенства, после чего автоматически получаем результат:
Вызов матрицы можно также произвести путем обращения к подменю «Матрица» из меню «Вставка».
Правило 2 – связанное с обращением к встроенным функциям f(x) из меню «Вставка», либо к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.
Результат будет получен в виде числа. На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбирается определенное имя, тип функции, а в разделе «Название функции» - требуемая функция
После нажатия на кнопку «ОК» или «Вставить» в рабочей области текстового окна появляется выбранная функция, в которую вписываются заданные числа, и вводится знак «=», после чего автоматически получается результат.
Пример
Вычислить функцию Бесселя 1-ого рода 1-ого порядка при аргументе 5.
Обращаемся к пиктограмме встроенная функция f(x) на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.
На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Бесселя», а в разделе» Название функций» - I 1.
После нажатия на кнопку «ОК» или «Вставить» в рабочей области текстового окна в месте установки красного визира появляется выражение I 1 ( ■ ).
Вписываем внутрь скобок заданное значение аргумента – I 1 (5) – и вводим знак =, после чего автоматически получаем результат: I 1 (5) = 24.336
Примеры
1
2
3
4
5
6
Примеры
1.
Используется подменю «Расчеты», опция «символические»
2.
Используется подменю «Расширить»
3.
4.
Используется опция «Символические»
Вопросы для самоконтроля
1. Первое правило решения математических задач в среде MathCAD
2. Второе правило решения математических задач в среде MathCAD
3. Третье правило решения математических задач в среде MathCAD
4. Четвертое правило решения математических задач в среде MathCAD
5. Пятое правило решения математических задач в среде MathCAD
6. Шестое правило решения математических задач в среде MathCAD
Методы решения алгебраических уравнений в среде MathCAD
Возможны 2 способа нахождения корней уравнения (6.2) в среде MathCAD:
· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;
· путем обращения к встроенной функции согласно правилу 2.
Рассмотрим применение обоих методов на конкретных примерах.
Пример
Найти корни кубического уравнения:
(6.3)
Решение по правилу 6:
Открываем рабочий лист и записываем многочлен из уравнения (6.3):
Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ – переменную x – путем протаскивания курсора.
Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» (Variable), щелчок по опции «Вычислить» (Solve).
На рабочем листе появляется результат, записанный в форме вектора:
Решение по правилу 2:
Вновь записываем многочлен из уравнения (6.3):
Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ переменной х – путем протаскивания курсора.
Записываем вектор коэффициентов многочлена, для чего открываем меню «Символ», щелчок по опции «Коэффициенты» (Polynomial Coefficients).
Перед вектором вставляем его имя V:= . Получаем результат:
Следует отметить, что при отсутствии какого-либо члена, соответствующий ему коэффициент принимается равным 0.
Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция» f(x) на второй строке текстового окна – стандартной линейке.
На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение» (All), а в разделе «Название функции» – polyroots (корни полинома).
После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции.
В скобки вписываем имя вектора коэффициентов V и вводим знак =.
После ввода знака равенства получаем результат в виде вектора:
,
Точность полученного результат устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.
Проводим проверку полученных результатов.
Для этого последовательно при каждом из полученных значений корня xi (переносим их методом копирования) вычисляем значение многочлена F(x).
Близость к нулю действительной и мнимой частей F(x) указывает на правильность полученных результатов:
check-up
Определение корней трансцендентных уравнений
Уравнение F(x)=0 называется трансцендентным, если хотя бы одна из функций в нем не является алгебраической.
Пример
(6.4)
Регулярных аналитических методов решения трансцендентных уравнений не существует. В каждом конкретном случае ищется свой индивидуальный прием.
Общим является только графический метод, состоящий в построении графика функций F(x).
Точки пересечения построенного графика с осью абсцисс и есть искомые действительные корни уравнения.
В среде MathCAD возможны два способа нахождения корней уравнения (6.4)
· с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;
· с помощью встроенной функции root в подменю f(x) меню «Вставка» согласно правилу 2.
Рассмотрим применение обоих методов на примере нахождения корней уравнения (6.4).
Поскольку неизвестно решение (значения х, при которых F(x)=0), то строим его график с целью приблизительного определения искомого действительного решения.
х := -10 … +10
Рис. 6.35 Графическое решение
Из графика видно, что это решение, определяемое как точка пересечения графика с осью абсцисс, лежит в промежутке значений х = 2…3.
Решение по правилу 6
Записываем многочлен из уравнения (6.4):
Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом месте символ переменной х – путем протаскивания курсора.
Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» и делаем щелчок по опции «Вычислить».
На рабочем листе получается результат:
Решение по правилу 2:
Записываем уравнение:
Вводим любое имя искомого решения и знак присвоения, например:
r := ,
после которого размещаем красный визир ±.
Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция f(x)» на 2-ой строке текстового окна – стандартной линейке.
На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение», а в разделе «Название функций» - root (корни). После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции с четырьмя черными прямоугольниками, которые следует заполнить:
r := root (■, ■, ■, ■)
В первое окошко вписываем имя функций F(x), во второе – переменную х, в третье и четвертое – (а) нижний и (в) верхний пределы, внутри которых ищется решение. Запись приобретает вид:
r: = root (F(x), x, a, в) ,
(пределы согласно рисунку 6.1 установлены 0 и 3).
Вновь вводим искомое решение, но теперь со знаком равенства:
r = ,
и сразу получаем результат.
r = 2,8267802
Точность полученного результата устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.
Проводим проверку полученного результата, для чего вычисляем значение функции F(x) при найденном значении корня.
x := 2.8267802
F(x) = 2.287 · 10-7
Близость к нулю функции F(x) указывает на правильность полученного результата.
Пример циклического расчета
Рассчитать с «шагом» затухающий колебательный процесс, описываемый функцией:
,
при А = 10, α = 0,5, F = 10 и N = 1000.
Организуем цикл расчета с помощью записи k := 0…N и выражений для аргумента tk и дискретной функции Yk(tk), полученной из непрерывной функции Y(t).
Строим график дискретной функции :
Рис.6.36 График дискретной функции
Вывод в виде таблицы дискретных значений осуществляется путем записи Y= или .
По умолчанию на рабочий лист выводится 16 значений функции.
Щелкнув по графику функции, обрамляют ее рамкой и путем протаскивания вниз курсора расширяют таблицу до любого требуемого значения k≤N.
При протаскивании курсора вверх таблица наоборот сжимается.
Таким же образом можно вывести и таблицу значений аргумента, сделав в рассматриваемом случае запись .
Вопросы для самоконтроля
1. Способы определения корней алгебраических уравнений в среде MathCAD
2. Способы определения корней трансцендентных уравнений в среде MathCAD
3. Способы организации вычислений по циклу
Пример
Пусть экспериментально получена амплитудная характеристика усилителя (таблица 6.1)
Таблица 6.1
Uвх(В) | 0.05 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | |
Uвых(В) | 0.001 | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.5 | 0.55 | 0.57 | 0.575 |
В программной среде «MathCAD» исходная функция (UВЫХ=F(UВХ)) записывается в виде матрицы [2x8]:
Далее производится сортировка значений функции по возрастанию значений аргумента, если в таблице такая сортировка не произведена. Для этого обращаемся к встроенным функциям f(x), (например, на стандартной линейке).
Записываем:
V:=
Открываем окно f(x) и выбираем в разделе категория функций – «сортировка», а в разделе имя функции – «сортировка по аргументу» (csort (v, o)).
После щелчка на кнопке «ок» получим запись:
,
далее вставляем имя матрицы:
V:= csort (V,0)
Далее присваиваем значениям аргумента значения из первого столбца:
,
а значениям функции значения второго столбца:
Теперь можно провести кусочно-линейную интерполяцию.
Записываем:
W(x):=
Открываем окно встроенных функций. В разделе «категория функций» указываем название «интерполяция», а в разделе «имя функции» – «линейная» («linterp»). После щелчка по клавише «ок» появляется запись:
Вводим в скобки последовательно X,Y,x:
W(x):= linterp(X,Y,x)
Далее по правилам построения графиков строим зависимость W(x) = f(x) (Рис. 6.38).
Рис.6.37 График зависимости W(x) = f(x)
Вопросы для самоконтроля
1. Понятие об интерполяции и экстраполяции
2. Понятие о кусочно-линейной интерполяции
3. Способ реализации кусочно-линейной интерполяции в среде MathCAD
4. Понятие о сплайн-интерполяции
5. Способ реализации сплайн-интерполяции в среде MathCAD
Пример
Решить уравнение x2 – a = 0
Используя панель «Символика» запишем:
x2 – a solve, x →
Результат получим в виде вектора:
Символьные преобразования, осуществляемые при помощи операторов панели «Символика» более наглядны, чем при использовании команд соответствующего меню.
Посмотрим на примерах отличия символьных преобразований при использовании панели и меню. Главное отличие – это то, что преобразования при помощи команд меню осуществляются MathCAD без учета определений и присваиваний, сделанных в документе выше.
При использовании же операторов панели «Символика» происходит подстановка определенных выше значений параметров.
Пример
Необходимо разложить в ряд функцию cos(ax + b), при a = 3 и b = 5.
Разложение в ряд при помощи команды меню «Символические» дает:
При использовании же операторов панели «Символика» происходит подстановка значений введенных параметров a и b:
Очевидно, что использование команд меню удобнее тогда, когда результат не нужно сохранять или использовать в дальнейших расчетах. В противном случае лучше применять операторы панели «Символика».
Однако меню «Символические» имеет ряд команд и настроек, которые не находят отражения на рабочей панели.
Одной из особенностей этого меню является наличие в нем подменю «вычислить» (Evaluate), отвечающего за проведение арифметических расчетов при помощи символьного процессора.
Состав подменю «Вычислить»:
Символические | (Symbolically) |
Плавающая точка | (Floating Point) |
Комплексные | (Complex) |
Данное меню содержит три команды.
В первой строке располагается команда «Символически» (Symbolically), предназначенная для расчета значения некоторой функции или выражения в символьном виде. По своему назначению она полностью совпадает с оператором символьного вывода «→». Эта же команда может быть задействована нажатием сочетания клавиш [«Shift» + «F9»] (при этом вычисляемое выражение должно быть выделено).
Пример
Необходимо вычислить
Нажав [Shift + F9] получим:
,
либо, используя оператор символьного вывода:
В меню «Символы», подменю «Расчеты» расположена команда «Плавающая точка» (Floating Point). С ее помощью можно получить численное значение некоторого выражения с нужной точностью.
Чтобы это сделать, необходимо выделить выражение и нажать данную команду. На экране появится специальное окно настройки «Вычисления с плавающей запятой» (рис. 6.40).
Рис. 6.40 Команда «Вычисления с плавающей запятой»
В строке «Floating Point Precision» необходимо задать уровень по шкале от 1 до 4000.
Примеры использования команды «Плавающая точка»: Найдем значение следующего выражения при различных уровнях точности:
.
Floating Point Precision = 3:
Floating Point Precision = 15:
Floating Point Precision = 20:
Для обычных выражений увеличение уровня точности от 20 и выше не приводит к каким либо изменениям в ответе, поскольку числа с дробной частью при символьных расчетах отображаются только до 20-го знака после запятой. Однако уровень точности 4000 может понадобиться в том случае, если вы работаете с очень малыми величинами.
Арифметические расчеты с помощью символьного процессора могут быть полезны, если величина результата меньше параметра «Порог нуля» («Zero Threshold») закладки «Точность» («Tolerance») меню «Формат результата» («Result Format»).
В этом случае при использовании оператора численного вывода « = » в качестве ответа будет выдан ноль. Вычисление же символически даст правильный результат.
Пример
Точность результата при различных типах расчета.
«Порог нуля» («Zero Threshold») = 10-10
Использование команды «Плавающая точка»:
8,6602540378443864675 · 10-101
В меню «Символы», подменю «Рсчеты» расположена команда «Комплексные» (Complex), при помощи которой можно производить перевод различных форм записи комплексных чисел к стандартной (вида a + i · b).
Пример
;
.
Произвести настройку особенностей отображения результата при использовании для символьных расчетов меню «Символические» (Symbolics) можно при помощи специального подменю «Стиль вычислений» (Evaluation Style) (рис. 6.41).
Рис 6.41 Подменю «Стиль вычислений»
При помощи параметров списка «Отображение шагов вычисления» (Show evaluations steps) рассматриваемого меню можно определить, каким образом по отношение к исходному выражению будет выведен результат символьных расчетов.
Данный список содержит 3 пункта:
1 «Вертикально, вставляя линии» (Vertikally, inserting lines). Параметр, определенный по умолчанию. Результат вставляется в специальную, очищенную от других формул полосу рабочей области ниже исходного выражения. Остальные объекты листа при этом смещаются вниз на ширину данной полосы;
2 «Вертикально, не вставляя линий» (Vertically, without inserting lines).
Результат выводиться ниже исходного выражения, но это не сказывается на положении других формул документа;
3 «Горизонтально» (Horizontally). Результат отображается правее исходного выражения.
Если поставить флажок в окошке «Вычислить на месте» (Evaluate In Place), то результат просто заменит исходное выражение.
При включении параметра «Показать комментарии» (Show comments) ответ выводиться на лист вместе с текстовой строкой, содержащей информацию о проделанной символьной операции.
Пример
x2 – 4x + 1, выделим х и проведем интегрирование. В результате выводятся комментарии и результат интегрирования:
by integration, yiecds
Пример
Зависимость величины корня кубического уравнения от значения коэффициента a.
Запишем:
Получим:
Обозначим: x(a):=M(a)o и построим график x(a):
Рис. 6.42 График x(a)
Глядя на график можно заметить следующее:
Действительное решение равно значению параметра в степени , поэтому оно должно принимать и отрицательные значения.
По правилам алгебры:
,
а извлечь кубический корень можно из любого действительного числа, и поэтому соответствующая функция должна быть определена на всей числовой оси:
График этой функции представляем на рис. 6.43.
Рис. 6.43 График функции f(a)
Вопрос: почему же кривая x(a) (Рис. 8.3) не существует при отрицательных значениях параметра a?
Все дело в существовании одного очень тонкого отличия в MathCAD между записью кубического корня в виде непосредственного математического оператора и как степени.
Разница эта заключается в том, что оператор рассматривает подкоренное выражение как действительное число, а степень – как комплексное.
При этом, если операция проводится над действительным отрицательным числом, то в первом случае ответ будет также действительным отрицательным числом, а во втором – комплексным выражением.
При возведении и того, и другого ответа в куб будет получено, в рамках рабочей точности, исходное число.
Аналогичная ситуация существует и для корней других нечетных степеней:
(1,12923107663412 + 0,331572160749093i)
-1,17690395624285
(1,12923107663412 +0,331572160749093i)11= -5,99999999999994
(-1,17690395624285)11= -5,99999999999985
Таким образом запись в виде при n-нечетном позволяет получить значения корня в виде действительного числа.
Пример метода золотого сечения
Опять рассмотрим задачу из примера 2.6, в которой требуется минимизировать f(х)=(100-х)2 в интервале 60£х£150. Для того чтобы перейти к интервалу единичной длины, проведем замену переменной, положив w=(х - 60)/90. Таким образом, задача принимает следующий вид: минимизировать f(w) = (40 – 90w)2 при ограничении 0£w£1.
Итерация 1. I1 = (0, 1); L1 = l. Проведем два первых вычисления значений функции:
w1 = t = 0,618, f(w1) = 244,0
w2 = 1-t = t2 = 0,382, f(w2) = 31,6
Так как f(w2) < f(w1) и w2 < w1, интервал w ³ w1 исключается.
Итерация 2. I2 =(0. 0,618); L2 = 0,618 = t. Следующее вычисление значения функции проводится в точке
w3 = t-t2 = t(1-t) = t3 = 0,236, f(w3) = 352.
Так как f(w3) > f (w2) и w3 < w2, интервал w £ w3, исключается.
Итерация 3. I3 =(0,236, 0,618); L3 = 0,382 = t2. Следующее вычисление значения функции проводится в точке, расположенной на расстоянии t ´ (длина полученного интервала) от левой граничной точки интервала, или на расстоянии (1-t) ´ (длина интервала) от правой граничной точки. Таким образом,
w4 =0,618 – (1-t)L3 = 0.618 - t2 L3 0.618 - t2(t2) = 0.618 - t4 = 0,472, f(w4) = 6,15.
Так как f(w4) < f (w2) и w4 > w2, интервал w £ w2 исключается.
В результате получен следующий интервал неопределенности: 0,382 £ w £ 0,618 для переменной w, или 94,4£х£115,6 для переменной х.
Если в процессе поиска проведено шесть вычислений значений функции, то длина результирующего интервала для переменной w равна
tN-1 = t5 = 0,09,
что соответствует интервалу длины 8,1 для переменной х. Для сравнения напомним, что в аналогичной ситуации метод деления интервала пополам привел к получению интервала длины 11,25.
В общем случае если правая и левая граничные точки интервала неопределенности (обозначим их через XR и XL) известны, то координаты всех последующих пробных точек, получаемых в соответствии с методом золотого сечения, можно вычислить по формулам
w = XR - tn или w = XL + tn, в зависимости от того, какой подынтервал был исключен на предыдущей итерации – левый или правый. В приведенных выше формулах через tn обозначена n-я степень t, где п – количество вычислений значений функции.
Поиск с помощью метода золотого сечения может быть окончен либо исходя из заданного количества вычислений значений функции (и, следовательно, величины интервала неопределенности), либо по достижении относительной точности искомого значения функции. Наиболее предпочтительным является использование обоих критериев одновременно.
Сравнение методов исключения интервалов. Ниже проводится сравнение относительных эффективностей рассмотренных методов исключения интервалов. Обозначим длину неходкого интервала неопределенности через L1, а длину интервала, получаемого в результате N вычислений значений функции, - через LN. В качестве показателя эффективности того или иного метода исключения интервалов введем в рассмотрение характеристику относительного уменьшения исходного интервала FR(N)=LN/L1
Напомним, что при использовании метода деления интервала пополам и метода золотого сечения длина получаемого интервала составляет L1(0,5)N/2 и L1(0.618)N-1 соответственно. Следовательно, относительное уменьшение интервала после N вычислений значений функции равно
FR(N) = (0,5)N/2 для метода деления интервала пополам;
FR(N) = (0,618) N-1 для метода золотого сечения.
Для сравнения рассмотрим также метод равномерного поиска, в соответствии с которым оценивание функции проводится в N равноотстоящих друг от друга точках (при этом интервал L1 делится на (N+1) равных интервалов длины L1/(N+l)). Пусть х* – точка, в которой наблюдается минимум функции f(х). Тогда точка истинного минимума f(x) оказывается заключенной в интервале
,
откуда LN = 2L1/(N+l). Следовательно, для метода равномерного поиска FR(N)=2/(N+1).
В табл. 6.2 представлены значения FR(N), соответствующие выбранным N, для трех методов поиска. Из таблицы следует, что поиск величины относительного уменьшения интервала с помощью метода золотого сечения
Таблица 6.2
Метод поиска | Количество вычислений значений функции | ||||
N=2 | N=5 | N=10 | N=15 | N=20 | |
Метод деления интервала пополам | 0,5 | 0,177 | 0,031 | 0,006 | 0,0009 |
Метод золотого сечения | 0,618 | 0,146 | 0,013 | 0,001 | 0,0001 |
Метод равномерного поиска | 0,667 | 0,333 | 0,182 | 0,125 | 0,095 |
обеспечивает наибольшее относительное уменьшение исходного интервала при одном и том же количестве вычислений значений функции. С другой стороны, можно также сравнить количества вычислений значения функции, требуемые для достижения заданной величины относительного уменьшения интервала или заданной степени точности. Если величина FR(N) = E задана, то значение N вычисляется по следующим формулам:
для метода деления интервала пополам
N=2 ln(E)/ln(0,5),
для метода золотого сечения
N=1+[ln(E)/ln(0,618)],
для метода равномерного поиска
N=(2/E)-1
В табл. 6.3 приведены данные о количествах вычислений значений функции, необходимых для определения координаты точки минимума с заданной точностью. Следует еще раз подчеркнуть, что метод золотого сечения оказывается более эффективным по сравнению с остальными двумя методами, поскольку он требует наименьшего числа оцениваний значения функции для достижения одной и той же заданной точности.
Требуемые количества вычислений значений функции
Таблица 6.3
Метод поиска | Заданная точность | |||
Е=0,1 | Е=0,05 | Е=0,01 | Е=0,001 | |
Метод деления интервала пополам | ||||
Метод золотого сечения | ||||
Метод равномерного поиска |
Пример записи целевой функции при синтезе фильтров
Проектирование фильтра осуществляется путем процедуры синтеза, включающего два этапа – аппроксимацию и реализацию, исходя из заданных полос пропускания и заграждения, и потерь в них. На первом этапе – аппроксимации – производится замена требуемой характеристики затухания фильтра функцией Чебышева или Баттерворта, либо иной зависимостью отвечающей условиям физической реализуемости. На втором этапе – реализация – определяется структура и параметры элементов фильтра.
Применение компьютера позволило изменить данный подход к синтезу фильтров, имеющих ряд ограничений, и повысить точность расчетов за счет возможности учета ряда факторов.
При компьютерном подходе аппроксимация и реализация заменяются процедурой оптимизации. Производится непосредственный расчет характеристик фильтра на основе определенных рекуррентных соотношений. Осуществляется перебор нескольких типовых структур фильтров и оптимизации параметров в каждом варианте на основе поисковых методов глобального и локального минимума целевой функции.
При таком подходе процедура синтеза представляется как множество вариантов анализа с поиском наилучшего из них согласно определенному критерию. Такая методика предусматривает огромный объем рутинных вычислений, поэтому практическая реализация возможна только с применением компьютера.
При составлении программы параметрического синтеза фильтра функция цели, подлежащая минимизации, может быть представлена в следующем виде:
fn1..fn2 – полоса пропускания;
fm1..fm2 – полоса заграждения;
fS1..fS2 – полоса частот фазовой характеристики;
Bп(fk) – полученное затухание фильтра в полосе пропускания на частоте fk ;
Bп.тр(fk) – требуемое затухание фильтра в полосе пропускания;
Bз(fk) – полученное затухание фильтра в полосе заграждения на частоте fk ;
Bз.тр(fk) – требуемое затухание фильтра в полосе заграждения;
φ (fk) – полученное значение ФЧХ на частоте f = fk;
φтр (fk) – требуемое значение ФЧХ на той же частоте f = fk;
V1, V2, V3 – коэффициенты веса, определяющие соотношение требований по затуханию, предъявляющих к полосам пропускания и заграждения, а также другим параметрам.
В качестве примера можно привести задачу минимизации порядка фильтра, обеспечивающего требуемые значения затухания в полосах пропускания и заграждения, а также группового времени запаздывания в полосе пропускания для ФНЧ Баттерворта.
Введем обозначения:
Amin – требуемое затухание фильтра в полосе заграждения;
Amax – требуемое затухание (допустимая неравномерность) фильтра в полосе пропускания;
Ω – текучая частота;
Ωz – нормированная частота среза (отношение граничной частоты полосы заграждения к граничной частоте полосы пропускания);
НАb(Ω) – амплитудно-частотная характеристика ФНЧ;
LАb(Ω) – рабочие затухание ФНЧ;
βb (Ω) – фазо-частотная характеристика ФНЧ;
τb(Ω) – групповое время запаздывания;
Пусть заданы значения:
Amax : ≤ 2; Amin : ≥ 20 ; Ωz : = 1.6;
Задаем пределы изменения и шаг изменения текущей частоты:
Ω : = 0.2 * Ωz/100 … 2 * Ωz
Wzcp – нормированная частота среза (fгрпн/fв)
Nb – порядок аналогового ФНЧ Баттерворта
Nc – порядок цифрового ФНЧ Чбышева
w – текущая частота
Hb(w) – АЧХ ФНЧ Баттерворта
Нс(w ) – ФЧХ ФНЧ Чебышева
τb(w) – групповое время запаздывания ФНЧ Баттерворта
τс(w) – групповое время запаздывания ФНЧ Чебышева
Amin1 – требуемое рабочее ослабление на частоте среза для фильтра Баттерворта
Amin2 – требуемое рабочее ослабление на частоте среза для фильтра Чебышева
Amax1 и Amax2 – допустимые неравномерности в полосе пропускания фильтров Баттерворта и Чебышева
Задание начальных данных
Допустимые значения группового времени запаздывания (ГВЗ) ФНЧ для аудиосогналов (из норм для трактов звукового вещания)
Fb – верхняя частота в спектре звукового сигнала
Amin – рабочее затухание на частоте среза (граничная частота полосы заграждения)
Amax – неравномерность в полосе пропускания
Допустимая неравномерность группового времени запаздывания τd(w)
Fb:=10000
w1 | 40/ Fb = 4×10-3 | τd(w1) | 55 мс |
w2 | 75/ Fb = 7,5×10-3 | τd(w2) | 24 мс |
w3 | 100/ Fb = 0,01 | τd(w3) | 20 мс |
w4 | 6400/ Fb = 0,64 | τd(w4) | 5 мс |
w5 | 7000/ Fb = 0,7 | τd(w5) | 10 мс |
w6 | 14000/ Fb = 1,4 | τd(w6) | 8 мс |
w7 | 15000/ Fb = 1,5 | τd(w7) | 12 мс |
Рис. 6.53 Нормы на ГВЗ
Запишем выражения, необходимые для определения τb(w). Сначала определяется минимально необходимый порядок фильтра, удовлетворяющий заданным параметрам.
То есть требуется ФНЧ Баттерворта 6-го порядка. Далее следует определить наибольший порядок фильтра, удовлетворяющий требованиям по групповой задержке.
Запишем функцию цели для нахождения максимального порядка ФНЧ, удовлетворяющего требованиям по τ. Нормированные частоты выбраны 0,64 (по минимально допустимому значению групповой задержки) и 1 (соответствет Fb). Будем искать минимум функции цели, при котором задержка не превышает допустимого значения.
Введем пределы варьируемых параметров с помощью ключевого слова Given:
Поскольку N – целое число и N может быть меньше 6 для удовлетворения требований по затуханию чем меньше N, тем меньше получается значение τb , то принимаем N=6 и производим проверку на требуемых частотах:
Таким образом, допустимо использование ФНЧ Баттерворта порядка 7, а требуется Nb=6. Следовательно, для Фнч Баттерворта следует принять порядок фильтра равным 6.
Определим теперь требуемый порядок ФНЧ Чебышева:
То есть требуется ФНЧ Чебышева 4-го порядка. Для него произведем проверку получаемого времени задержки на нормированных частотах 0.64 и 1.
Задание начальных значений параметров
Рис 6.54 Групповое время запаздывания (в мс )
Таким образом ФНЧ Чебышева 4-го порядка удовлетворяет всем предъявляемым требованиям.
Рис. 6.55 АЧХ ФНЧ Чебышева 4-го порядка
Рис 6.56 Зависимости допустимой и полученных групповых задержек
Вопросы для самоконтроля
1. Понятие оптимизациив расчетах РЭА
2. Понятие функции цели
3. Меры расхождения при определении функции цели
4. Методы поиска экстремума функции цели
5. Пример записи функции цели при синтезе фильтров
Подготовка к анимации
Для построения анимационного графика в начале задается параметр FRAME как ранжированная переменная. Затем, записывается функция, которую надо «оживить» и у которой переменная FRAME должна определять ее вид для каждого кадра.
После этого в диалоговом окне «Record Animate» задаются три основных параметра: начальные значении переменной FRAME, ее конечное значение и частота смены кадров.
Пример анимации графика
1 Создаем системную переменную FRAME ранжированную переменную:
l:= FRAME·0.05
2 Задаем функцию, одним из параметров которой будет заданная на каждом шаге анимации переменная FRAME. Например, функция:
3 Выводим шаблон построение графиков в полярной системе координат.
4 В полях ввода шаблона вставляем имя функции и угол.
5 С помощью команды Record Animation выводим диалоговое окно «Запись анимации» для задания параметров анимации, рис. 6.57.
Рис 6.57 Диалоговое окно «Запись анимации»
6 Выделяем мышью нужный фрагмент изображения (графики и даже расположенные около него объекты, если нужно).
Для создания кадров изображения нажимаем указателем мыши на кнопке Animate (Анимация) окна параметров анимации. Это приводит к созданию последовательности анимационных кадров, что будет видно в области просмотрового окна.
С помощью кнопки Options (Установки) можно выбрать формат сжатия видео файлов и систему работы с ними. Чем больше конечное значение переменной FRAME и выше частота кадров, тем более плавно происходит считывание.
По окончании создания серии кадров для анимации появится окно проигрывателя «Play Animation» (Просмотр анимации), рис. 6.58
Рис 6.58 Окно проигрывателя «Play Animation» (Просмотр анимации)
Теперь можно приступить к просмотру клипа. Для просмотра необходимо щелкнуть в окне проигрывателя на кнопку с изображение треугольник. После этого в окне проигрывателя начнется воспроизведение графика во времени.
Если щелкнуть на кнопке Save As (сохранить как) в диалоговом окне Record Animation, то появится стандартное окно записи файлов на диск. С помощью этого окна файл будет записан в нужную папку с расширением *.avi. Размеры окна проигрывателя можно уменьшать или увеличивать в 2 раза. Это делается с помощью меню, появляющегося в окне проигрывателя после щелчка на кнопке с изображением экрана.
Инструкция Add line
Инструкция «Add Line» ( добавить линию) выполняет функции создания и расширения программного блока. Расширение фиксируется удлинением вертикальной черты программных блоков или их древовидным расширением. Благодаря этому можно создавать сколь угодно большие программы.
Оператор внутреннего присваивания
Для присвоения значений переменным, выражениям и константам в программах «MathCAD» используется специальный оператор «←» (локальное определение), расположенный на панели «Программирование», он также вводится сочетанием клавиш «Shift» + «[». Использовать оператор обычного присвоения «: = » в программах нельзя.
Оператор «←» выполняет функции внутреннего, локального присваивания. Например, выражение х ← 123 присваивает переменной х значение 123.
Локальный характер присваивания означает, что такое значение переменной х хранится только в теле программы. За пределами тела программы значение переменной х может быть неопределенным либо равным значению, которое задается вне программного блока операторами локального « := » или глобального « ≡ » присваивания.
7.1.3 Условная инструкция «if»
Инструкция «if» (если) позволяет строить условные выражения. Она задается в виде: «выражение» if «условие». Если условие выполняется, то возвращается (определяется) значение «выражения». Совместно с этой инструкцией часто используются инструкции прерывания «break» и иного выбора «otherwise».
7.1.4 Инструкция «for»
Данная инструкция служит для организации циклов с заданным числом повторений. Она записывается в виде:
for Var Nmin .. Nmax
Эта запись означает, что выражение, помещённое в расположенное ниже место ввода, будет выполнятся для значений Var, меняющихся от Nmin до Nmax с шагом +1. Переменную Var можно использовать в исполняемом выражении.
7.1.5 Инструкция «while»
Инструкция служит для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется некоторое условие.
Она записывается в виде:
while «условие»
Выполняемое выражение записывается в расположенное ниже место ввода.
7.1.6 Инструкция «otherwise»
Инструкция иного выбора «otherwise» обычно используется совместно с инструкцией «if» (если). Это поясняет следующая программная конструкция:
То есть функция f(x) возвращает 1, если х > 0, и -1 во всех остальных случаях.
7.1.7 Инструкция «break»
Инструкция «break» вызывает прерывание выполнения программы всякий раз, как она встречается.
Чаще всего эта инструкция используется совместно с условной инструкцией «if» (если) и инструкциями циклов «while» (пока) и «for» (для), обеспечивая перехода в конец тела цикла.
7.1.8 Инструкция «continue»
Инструкция «continue» (продолжение) используется для продолжения работы после прерывания программы.
Она чаще всего используется совместно с инструкциями циклов «while» и «for», обеспечивая возвращение в точку прерывания и продолжение вычислений.
7.1.9 Инструкция «return»
Эта инструкция прерывает выполнение программы и возвращает значение операнда, стоящего следом за ней. Например, в приведенном ниже случае будет возвращаться значение 0 при х<0:
return 0 if х<0
7.1.10 Инструкция «on error»
Эта инструкция позволяет создать процедуры обработки ошибок. Она задается в виде:
«выражение 1on error выражение 2»
Если при выполнении выражения 1 возникла ошибка, то выполняется выражение 2.
Общие принципы задания операторов
1) Что бы задать нужный оператор, необходимо использовать соответствующие команды панели «программирование».
Просто набрать оператор с клавиатуры нельзя ─ он будет воспринят системой как неизвестная функция.
Кроме того, каждый оператор программирования имеет свое сочетание «горячих клавиш», узнать которое можно, подведя курсор к соответствующей ему кнопке рабочей панели.
2) Задание комплекса условий в программных операторах можно делать по разному:
─ Можно поставить курсор в соответствующий маркер оператора, задействовать команду «Add Line» (добавить линию). В появившемся программном блоке определить условия. При таком задании условий оператор будет выполнен, если будет выполнено хотя бы одно условие из множества условий (что соответствует использованию логического оператора «или»).
─ В том случае, если оператор должен быть задействован при условии выполнения всего комплекса условий, следует использовать логическое умножение «И» панели «булевы».
Примеры составления программ
Пример задания комплекса условий
Пусть требуется вычислить сумму гармонического ряда из произвольного числа членов n. Условия суммирования ─ сумма не должна превысить 10.
Суммирование будем осуществлять с использованием оператора условного цикла «While» (пока).
Принцип его работы следующий:
если выполняется условие в его правом маркере, то выполняются и выражения в левом.
Можно записать программу следующим образом:
Очевидно, что программа работает некорректно.
Произведем суммирование с помощью специального оператора:
Ошибка в программе связанна с тем, что записана связь условий подобно логическому «ИЛИ».
Это заставляет оператор работать, пока выполняется хотя бы одно условие.
Поэтому суммирование будет производится до тех пор, пока результат не достигнет 10 (при этом будет просуммировано 12370 элементов вместо необходимых 10000).
Запишем программу, используя для связи условий логическое «И». В этом случае для продолжения цикла «while» требуется, чтобы исполнялись оба условия. Когда число членов суммы достигнет n, одно из условий перестанет выполнятся, цикл останавливается и выдается верный ответ.
Таким образом видно, что правильно работает программа, в которой комплекс условий записан через логический оператор.
Во втором случае, когда число членов достигает 10000 (т.е. заданного n), одно из условий перестает выполнятся, цикл останавливается и выдается верный ответ.
Пример расчета с заданной точностью
Рассмотрим программу подсчета суммы сходящегося ряда с заданной точностью, которая имеет ряд важных технических особенностей.
Проверку можно сделать с помощью оператора суммирования:
Разберем создание программы по пунктам.
1) Сначала вводим имя программы и блок из нескольких маркеров.
2) Задаем условный цикл «While» (пока). В качестве условия остановки в его правом маркере определим, что число операций суммирования не должно превышать 100000.
Это необходимо в связи с тем, что если ряд не сходится или сходится очень медленно, то подсчет может вестись неограниченно долго.
3) Затем задаем вид общего члена ряда:
Он определится как элемент вектора: это нужно для того, что бы затем была возможность подсчитать максимально просто сумму всех членов ряда.
4) Далее определяется условие остановки цикла. Делается это при помощи условного оператора «if». В качестве условия задано, что два соседних члена ряда должны отличаться по абсолютной величине не более, чем на 10-14 (такой подход возможен только в случае равномерной сходимости).
5 Определяется первый элемент вектора t0 как 0:
Иначе возникает проблема: с чем будет сравниваться первый член ряда.
6) В левом маркере условного оператора цикла (на самом деле он выводится ниже оператора) задаются те операции, которые должны быть произведены при выполнении условия точности.
Так как их несколько, то вводим дополнительный программный блок.
Во-первых, требуется произвести суммирование рассчитанных членов ряда. Так как они были сохранены в форме вектора, то операцию суммирования следует выполнить при помощи специального оператора суммы элементов вектора (Vector Sum) панели «матрица»:
Во-вторых, интересно узнать, сколько просуммировано элементов. А так как в качестве результата работы программы может быть выведен только один объект, то интересующие величины следует объединить в один вектор:
Для объединения операций в данном случае пришлось использовать оператор исключающего «или». При использовании логического «ИЛИ» ответ был бы выведен неполным: в нем бы присутствовало только значение суммы, и не было бы числа членов ряда.
Проще можно было бы объединение в один вектор произвести его непосредственным определением:
Так как задача программы выполнена, цикл должен быть остановлен. Делается это с помощью специального оператора остановки «Break». Он почти всегда используется с оператором «if».
7) В том случае, если условие точности выполнено не было, цикл должен продолжить свою работу. Однако на следующем круге должен быть рассмотрен уже следующий член ряда. Для этого следует увеличить значение переменной на 1:
Подобное переопределение переменной (или функции) через саму себя называется реккурентным.
Несмотря на то, что с точки зрения математики реккурентные выражения выглядят алогично, они являются одним из наиболее мощных и широко используемых средств компьютерной математики.
Первое значение переменной i (индекса) должно быть задано выше цикла как 1.
8) В конце первой программной линии вводим имя той величины, которая должна быть выдана в качестве ответа. В нашем случае это вектор «Sum».
Необходимо помнить, что в качестве результата работы программы выводится значение того выражения, которое находится в последнем маркере главного программного блока.
Ошибившись с его определением (или забыв задать его вовсе), можно получить совсем не тот ответ, который соответствует решению данной задачи.
Пример расчета различных параметров одной и той же программой
Листинг программы расчета ФНЧ Чебышева
Листинг программы расчета фильтра Баттерворта по критерию ограничения во времени группового запаздывания
Глава 8. ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА
В большинстве случаев нелинейным элементом в радиотехнических устройствах являются электронные приборы. В сочетании с инерционными электрическими цепями они образуют нелинейные динамические звенья и устройства.
Математическая модель таких устройств может быть представлена в виде системы из n нелинейных дифференциальных уравнений.
В [9] рассмотрены применяемые в радиотехнике методы решения таких уравнений (аналитические, численные, реализуемые только с помощью компьютера).
В данном разделе рассматривается применение квазистационарного метода расчета спектра на выходе таких нелинейных устройств как ограничитель и компрессор, что актуально для большинства усилительных трактов.
В приложении к обработке аудиосигналов подобные задачи встречаются в звуковом вещании, при записи и воспроизведении аудиосигналов, в задачах аналого-цифрового преобразователя.
Вопросы для самоконтроля
1. Какой метод расчета спектра на выходе нелинейных устройств рассмотрен в комплексе?
2. Оценка каких искажений и каким методом проведена в разделе 8?
Глава 9. ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В общем случае под фразой цифровая фильтрация нужно понимать любое преобразование над дискретным сигналом, а не только выделение сигнала определенной полосы частот. В этом смысле понятие «цифровой фильтрации» и «дискретная система» - это одно и тоже. Однако, в этом разделе речь пойдет именно о цифровых фильтрах, т.е. устройствах работающих с дискретными сигналами и выделяющих определенный спектр.
Помимо очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре стабильности характеристик, и т.д., цифровые фильтры позволяют получить такие технические характеристики, которые трудно или даже невозможно получить в аналоговых фильтрах. Кроме того, характеристики ЦФ могут быть легко изменены программно. Сами фильтры могут быть реализованы либо в виде программного продукта, либо с использованием специализированных БИС или цифровых сигнальных процессоров.
Процесс проектирования ЦФ состоит их тех же этапов, что и проектирование аналоговых фильтров. Вначале формулируются требования к желаемым характеристикам фильтра, по которым затем рассчитываются параметры фильтра. Амплитудная и фазовая характеристики формируются аналогично аналоговым фильтрам.
В задачу проектирования ЦФ так же входит выбор подходящей структуры реализации дискретного фильтра с учетом точности вычислений. Основное различие между ЦФ и АФ состоит в том, что вместо вычисления сопротивлений, емкостей и индуктивностей в аналоговых системах, рассчитываются значения коэффициентов. Эти коэффициенты {ai}, {bi} являются аналогами физических сопротивлений, емкостей и индуктивностей АФ. Их и необходимо найти в первую очередь при синтезе ЦФ
Дискретная система, как и аналоговая, полностью может быть описана математическим оператором, устанавливающим связь между выходным и входным сигналами или последовательностями [1]:
y(i) = F(x(i)) (9.1)
Оператор системы, реализуется аппаратными или программными средствами, и называется алгоритмом обработки системы.
В случае одномерной цифровой фильтрации последовательность отсчетов x(i) входного сигнала преобразуется в последовательность отсчетов выходного сигнала y(i) по общей формуле:
(9.2)
Значения m и n могут быть любыми натуральными числами, а коэффициенты ai, bi могут быть любыми действительными числами (положительными и отрицательными). M ≥ N обозначает порядок уравнения. Устройство или программу, реализующие разностное уравнение (9.2) и называют дискретным или цифровым фильтром.
Сигнал на выходе ЦФ равен сумме текущего отсчета входного сигнала и предыдущих (N и M) отсчетов входного и выходного сигналов взятых с весовыми коэффициентами ai, bi.
Рис. 9.1 Представление дискретного сигнала
Если хотя бы один из коэффициентов bi не равен нулю, ЦФ называется рекурсивным, [2]. Рекурсия означает наличие в фильтре обратных связей, и текущее значение выходного сигнала будет определяться не только входным сигналом, но и более ранними значениями выходного сигнала y(i – n), (рис. 9.1). Такие фильтры еще называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ – фильтры), так как они «помнят» все предыдущие значения входного и выходного сигналов и их импульсная характеристика бесконечна (рис. 9.2).
РФ позволяют производить обработку сигнала с высокой точностью, так как у них импульсная характеристика не усекается, позволяют организовать алгоритмы обработки сигналов практически любой сложности, простая схемная реализация, т.е. содержат относительно небольшое число элементов. Однако, из-за наличия обратных связей такие фильтры склонны к самовозбуждению, а их фазовая характеристика в общем случае нелинейная.
а) б) в)
Рис. 9.2 Единичный входной импульс (а) и импульсные характеристики: БИХ – фильтра (б) и КИХ – фильтра (в)
Если все коэффициенты bi=0 , то уравнение (9.2) преобразуется к виду:
, (9.3)
тогда ЦФ называется нерекурсивным. Его импульсная характеристика становится конечной и фильтр называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ – фильтр) (рис. 9.2, в).
Дискретная временная свертка для НФ имеет конечные пределы суммирования, определяемые конечной длиной импульсной характеристики фильтра N:
(9.4)
Сравнивая выражения (9.3) и (9.4) видно, что дискретная временная свертка (ДВС) может непосредственно использоваться при реализации алгоритма обработки в НФ, и отсчеты импульсной характеристики являются коэффициентами фильтра.
НФ имеют почти линейную ФЧХ, мощность собственных шумов, как правило, меньше чем у РФ, проще вычисление коэффициентов, всегда устойчивы и просты в настройке. Однако НФ содержат большое число элементов цепи и не позволяют производить обработку дискретных сигналов с высокой точностью.
Устойчивость ЦФ можно оценить по импульсной характеристике. Для устойчивого ЦФ импульсная характеристика затухает со временем, что математически . Обобщенная структурная схема ЦФ имеющего как рекурсивную, так и нерекурсивную части показаны на рис. 9.3.
Рис. 9.3 Обобщенная структурная схема ЦФ
Здесь блоки Z-1 выполняют роль линии задержки сигнала на один отсчет (Т = ). Операционные усилители определяют коэффициенты фильтра.
Расчет числа звеньев и определение полюсов и нулей низкочастотного фильтра прототипа
Порядок и пример синтеза цифрового рекурсивного фильтра
В общем виде порядок синтеза РЦФ можно представить так:
· с помощью частотных преобразований (таблица 9.1) по заданным значениям граничных частот ЦФ: ωс, ωз (Ωс, Ωз) находятся граничные частоты аналогового фильтра прототипа (ωaс= 1, ωaз);
· по значениям an , aз , и ωaз синтезируется фильтр прототип: выбирается тип аппроксимирующей функции, определяется порядок фильтра N и значения его полюсов и нулей: ωaоi, ωapi, i = 1, 2, … , N;
· по формулам таблицы 9.2 рассчитываются значения полюсов и нулей ЦФ заданного типа: zоi , zрi , i = 1, 2, … , N, (здесь N – порядок ЦФ и для ФНЧ, ФВЧ, а для ППФ и ПЗФ 2·N);
· Порядок фильтра равен порядку АФП.
· строится картина расположения нулей и полюсов ЦФ на комплексной плоскости; каждому i-му звену ЦФ ставится в соответствие комплексно-сопряженная или вещественная пара полюсов, а в случае каскадной формы реализаций – ближайшая к ней по расположению пара конечных нулей (i = 1, 2, … , L);
· выбирается форма (структура) реализации РФ и рассчитываются коэффициенты звеньев фильтра a1i, a2i, bоi, b1i, b2i по соотношениям рассмотренным выше;
· рассчитывается АЧХ и ФЧХ фильтра и сопоставляются с заданными требованиями.
В случае если синтезированный фильтр не удовлетворяет поставленным требованиям, расчеты повторяются до получения нужного результата.
Ниже приведен пакет программного модуля, написанный в среде MathCAD, по синтезу полосового рекурсивного фильтра, для всех вариантов аппроксимирующих функций рассмотренных ранее.
Исходные данные: полосовой фильтр с полосой пропускания 8400 ÷ 11600 (Гц), полосой задерживания 7600 ÷ 12400 (Гц), неравномерностью в ПП an = 1[дБ], затуханием в ПНП aз = 40[дБ] и частотной дискретизацией fд = 112000 (Гц).
Синтез нерекурсивных фильтров
Методика синтеза НФ методом весовых функций и пример синтеза полосового цифрового фильтра
Подводя итог выше сказанному, приведем общую методику синтеза НФ.
По заданному значению затухания частотной характеристики в полосе задерживания аз с помощью таблицы 9.3 выбирается тип весовой функции, отвечающей условию , при минимальном значении ширины ее главного лепестка, т.е параметра D. При использовании весовой функции Кайзера по таблице 9.4 находятся соответствующие заданному затуханию аз параметры данной весовой функции β и D. При этом нужно учитывать, что расчетное значение затухания зависит от вида АЧХ синтезируемого фильтра, его граничных частот и длины весовой функции N и может оказаться как больше, так и меньше оценочного значения а2max. Чем сложнее АЧХ фильтра (ППФ, ПЗФ, МПФ), тем меньше затухание для одной и той же весовой функции. Это же относится и к неравномерности АЧХ в полосе пропускания.
Для выбранной весовой функции и заданной переходной полосы частотной характеристики фильтра в соответствии с приближенным соотношением находится необходимая длина весовой функции и определяемая ею длина импульсной характеристики фильтра: , где D – коэффициент зависящий от типа весовой функции.
Значение N приравнивается ближайшему целому нечетному числу.
С помощью обратного преобразования Фурье:
или приведенных выше аналитических выражений вычисляется смещенная вправо импульсная характеристика , n = 0, . . ., N – 1, соответствующая заданной частотной характеристике Hp(jω).
При этом в качестве частот среза заданной частотной характеристики используют их расчетные значения fср, смещенные в полосу задерживания примерно на половину переходной полосы фильтра Δfпер. Это связано со свойственным данному методу размыванием границ перехода от полосы пропускания фильтра к полосе задерживания (рис. 9.31).
Например, для ППФ:
;
Находится импульсная характеристика фильтра путем весового усечения смещенной вправо на отсчетов импульсной характеристики hp(n):
, n = 0, . . ., N – 1
Рассчитывается АЧХ фильтра и проверяется ее соответствие исходным данным по неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания ап и затуханию в полосе задерживания аз.
Так как данный метод не обеспечивает точного соответствия исходных и расчетных данных (является итерационным), при необходимости корректируются значения расчетных частот среза ωс1р, ωс2р , длины фильтра N и расчеты повторяются.
Выбирается способ реализации НФ (на основе ДВС, ДПФ или частотной выборки) и решаются соответствующие ему задачи реализации.
Следует отметить, что метод весовых функций обеспечивает строгую линейность ФЧХ и постоянство группового времени запаздывания фильтра ввиду четной или нечетной симметрии получаемой этим методом импульсной характеристики h(n).
Далее приводится листинг программы, написанной в среде MathCAD, по синтезу НФ методом весовых функций.
Глава 10. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ АНТЕННЫХ СИСТЕМ
В этой главе будут рассматриваться простейшие линейные излучающие системы. Под линейной излучающей системой будет пониматься непрерывное или дискретное распределение одинаковых источников электромагнитного поля (т.е. излучателей), вдоль заданного направления в пространстве (рис.10.1). Примерами таких излучателей могут быть: длинный прямолинейный провод, щели в экране или в стенках волновода, диэлектрический стержень, система одинаковых излучателей (напр. вибраторов), спиральная антенна и т.д. Продольный размер излучателя может быть произвольным, а поперечные размеры, как правило, меньше длины волны. Как правило, комплексная характеристика направленности одного элемента излучателя известна.
Рис.10.1 Линейные излучатели
Глава 11. О МОДЕЛИРОВАНИИ КАНАЛА СВЯЗИ
Литература
1. Б.Советов, С.Яковлев Моделирование систем. Учебник для вузов. «Питер» С-П. 602 с. 2005
2. А.Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. 2-е издание. Издательство Питер. 2007, 751с.
3. Хемминг Р.В. Цифровая фильтры.–М.: Недра, 1987.-221с.
4. Тронин Ю.В., Гурский О.В., Демин М.П. Дискретные сигналы и их обработка. – М.: МАИ, 1985.
5. А.Т. Бизин «Цифровая обработка сигналов». Учебное пособие / Сиб.ГОС.ун-т телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск,2005 г. – 86 с.
6. А.С. Глинченко. Цифровая обработка сигналов. г.Красноярск 2001. учебное пособие.
7. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. – Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. – СПб.: Политехника 1999
8. Минпазин А.Т. Синтез передаточных функций цифровых фильтров в области дискретных значений коэффициентов (обзор). // Электронная техника. Сер.10.1993.№1,2.С.3-35.
9. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров/Пер.С:под ред. Н.Н. Слепови – M.:Р. и С., 1983
10. В.И.Каганов. Радиотехника + компьютер + MathCAD. – Ь.: горячая линия – Телеком, 2001.-416 с.
11. Выходец А.В., Гитлиц М.В. Радиовещание и электроника. – М.: Радио и связь, 1989. – 542 с.
12. Ковалгин Ю.А. Радиовещание и электроакустика. – М.: Радио и связь, 1999. –792 с.
13. Д.А. Гурский, Вычисления в MathCAD . – Минск.: новое знание. 2003. –814 с.
– Конец работы –
Используемые теги: моделирование, Проектирование, ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ, технологиях0.08
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Моделирование и проектирование в инфокоммуникационных технологиях
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов