Реферат Курсовая Конспект
Связанные с графами - раздел Математика, Остовы графов Рассмотрим Алгебраическую Систему 2= С Двухместным...
|
Рассмотрим алгебраическую систему 2= с двухместными операциями кольцевого сложения ⊕ и умножения ⊙, задаваемыми следующими правилами: 0⊕0=1⊕1=0, 1⊕0=0⊕1=1, 0⊙0=0⊙1=1⊙0=0, 1⊙1=1. Система 2 является булевым кольцом (см.§2.6) и, более того, образует поле.
Пусть G= связный неорграф, имеющий n вершин и m ребер . Произвольному множеству ребер A R поставим в соответствие вектор = , положив
Каждому множеству ребер соответствует единственный вектор, состоящий из нулей и единиц, а для любого набора нулей и единиц найдется единственное множество ребер, соответствующее этому набору. Таким образом, существует биекция между булеаном множества ребер R и множеством всех наборов длины m, состоящих из нулей и единиц: P (R)↔ m. Пусть = и =( )- наборы (векторы) из m. Определим сложение векторов с помощью соотношения ⊕ =( ⊕ , … , ⊕ ) по правилам, определенным в поле 2. Кроме этого, определим произведение векторов на элементы , положив λ ⊙ =(λ⊙ , … ,λ⊙ ). Множество векторов m с операциями сложения ⊕ и умножения ⊙ на элементы поля 2 образует линейное пространство над полем 2. Это пространство обозначим через ( 2).
Отметим, что сложение ⊕ векторов и соответствует кольцевой сумме множеств ребер A и B, представляемых этими векторами. Действительно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда =1, (т.е. или , (т.е. . Следовательно, сумме ⊕ соответствует множество (AB) (BA)=A⊕B.
Внутреннее произведение векторов = и =( определяется соотношением ( = Равенство ( =0 означает, что четное число произведений ⊙ равно 1. Для таких произведений =1, и, следовательно, соответствующие векторам и множества ребер A и B имеют четное число общих ребер.
Множество ребер A называется границей (кограницей), если A есть объединение множеств ребер некоторых циклов (коциклов), из которых любые два множества не имеют общих ребер. Нетрудно заметить, что кольцевая сумма A1⊕ A2 также является границей (кограницей). Следовательно, множества VГ= соответствует некоторой и VK = вектор соответствует некоторой образуют линейные подпространства пространства Vm 2).
Теорема 4.13.1.1. Если фундаментальное множество циклов графа G, то множество 𝔅С = векторов, соответствующих фундаментальным циклам, образует базис подпространства границ VГ.
2. Если фундаментальное множество коциклов графа G, то множество 𝔅K= векторов, соответствующих фундаментальным разрезам, образует базис подпространства кограниц VK.
Следствие 4.13.2. 1. Размерность dim VГ подпространства границ VГ равна цикломатическому числу , а размерность dim VK подпространства кограниц VK равна корангу .
2.Любой цикл ( коцикл ) в графе можно представить в виде кольцевой суммы некоторых фундаментальных циклов (разрезов).
Два подпространства V1 и V2 векторного пространства Vm ( 2) называются ортогональными (V1 V2), если для любых векторов V1 и V2 их внутреннее произведение ( , ) равно 0.
Заметим, что по теореме 4.12.3 любой цикл C с любым разрезом K имеет четное число общих ребер, т.е. для соответствующих векторов и их внутреннее произведение ( , ) равно нулю. В частности, для любых векторов C и K справедливо ( , )=0. Так как множества C и K образуют базисы подпространств VГ и VK, то VГVK.
Отметим также, что при умножении матрицы фундаментальных циклов C на транспортированную матрицу фундаментальных разрезов KT в поле 2 строка умножается на столбец по правилу произведения и ( , )=0. Это означает что C KT=0, а также K CT=0.
У п р а ж н е н и е. Проверить, что для матриц C и K из примеров 4.11.1 и 4.12.1 справедливо C KT=0.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
тема quot Элементы теории графов Виды и способы задания графов quot... Даны населенные пункты расстояния между которыми известны Требуется найти маршрут проходящий через все пункты по...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Связанные с графами
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов