Реферат Курсовая Конспект
Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии - раздел Математика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Федеральное Го...
|
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Математика» 1 семестр
Для студентов заочной формы обучения
Направления Менеджмент
Раздел №1 «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии»
Волгодонск
Координаты вектора в данном базисе. Операции с векторами в координатной форме.
Рассмотрим в ЛП размерности n базис l1, l2, ... ,ln. Любой вектор ЛП разлагается в линейную комбинацию базиса х = α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln (по теореме о разложении по базису), х Є ЛП.
Определение: Упорядоченный набор чисел, участвующий в разложении вектора по базису (α1, α2,… αn) называется координатами этого вектора в данном базисе.
х =(α1, α2,… αn) – координаты вектора ЛП.
Операции:
1) Для того, чтобы сложить два вектора ЛП в координатной форме нужно сложить их соответствующие координаты.
Док-во: Возьмем два вектора ЛП.
+ |
у = (β1, β2, … βn)= β1 l1+ β2l2+…+βn ln
х + у = (α1 +β1, α2 +β2,… αn +βn) = (α1 + β1)l1+(α2 + β2)l2+…+(αn +βn) ln.
Ч.т.д.
2) Чтобы вектор в координатной форме умножить на число нужно каждую координату умножить на это число.
Док-во: х =(α1, α2,… αn)= α1 l1+ α2 l2+ ... +αn ln.
λ х = (λ1α1, λ2α2,… λnαn)= λ1α1 l1+ λ2α2 l2+ … +λnαn ln.
Ч.т.д.
АВ= (x2- x1, , y2- y1, z2- z1).
Пример. Даны 3 точки т. А(2,-1,3), т. В(4,0,1), т. С(-1,2,1). Найти АВ и его длину │АВ│, m= AB- 2BC.
Теоремы о проекциях.
Теорема 1. прl(а + b)= прl a + прl b.
Теорема 2. прl (λа)= λ прl а.
Скалярное произведение векторов.
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению длин этих векторов (модулей) на косинус угла между векторами.
По определению: a • b= │a│·│b│· cos φ.
, .
,.
- связь между скалярным произведением и проекцией вектора на вектор.
Скалярное произведение координатных ортов.
i × j= 0, так как i ^ j (из 2°);
i × k= 0, так как i ^ k (из 2°);
k × j= 0, так как k ^ j (из 2°);
i × i=│i│2 = 12=1;
j × j=│j│2 = 12=1;
k × k=│k│2 = 12=1.
Скалярное произведение в координатной форме.
A • b= ax bx + ay by + az bz.
Приложения скалярного произведения.
1) Угол между векторами:
.
Ðj - острый, cos j> 0, отсюда следует, что a • b> 0.
Ðj - тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a • b< 0.
Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a • b= 0.
2) Проекция вектора на вектор:
.
Приложения векторного произведения.
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, как на сторонах, численно равна модулю векторного произведения a ´ b.
Sпар=│a ´ b│.
Из геометрии: Sпар=│a│·│b│sin φ.
Так как │a ´ b│= │a│·│b│sin φ, отсюда следует, что Sпар=│a ´ b│.
Следствие: из геометрии Sпар=│a·│ha, ,
где ha – высота, проведенная к стороне a.
2) .
ha |
3) a║b. Отсюда следует, что a´b=0 (из условия коллинеарности двух векторов).
b |
а |
b |
а |
Ðj= 0°, sin 0°= 0 Ðj=180°, sin 180°= 0 |
│a´b│= │a│·│b│sin φ= 0,
│a´b│= 0.
Приложения смешанного произведения.
1) Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на трех векторах как на ребрах.
Vпарал= │abc│.
Из геометрии: Vпарал= Sосн· h.
Sосн= Sпар=│a´b│.
Из приложения векторного произведения:
h=│с│·cos φ.
Vпарал= │ a´b │·│c│·cos φ =│(a´b) • с│=│abc│.
Следствие: высота параллелепипеда h= .
2) Vтетр= Vпарал=│abc│.
Из геометрии: Vтетр= Sосн· h; hтетр= .
3) Если смешанное произведение abc>0, то тройка векторов правая; если abc<0, то тройка векторов левая.
abc= (a´b) • с = │a´b│·│c│·cos φ.
abc>0, cos φ >0, Ðj- острый, abc - правая тройка.
abc<0, cos φ <0, Ðj- тупой, abc - левая тройка.
4) abc – компланарные, если параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.
Условие компланарности: abc=0.
a´b ^ плоскости α.
a´b ^ с, (a´b) • с = 0 (условие перпендикулярности двух векторов), abc=0.
Задание вектора в пространстве.
Любой вектор в пространстве имеет длину и направление.
Длина вектора │а│= .
Направление вектора задают три направляющих косинуса: cos α, cos β, cos γ, где Ðα- угол между и ОХ, Ðβ- угол между a и ОУ, Ðγ- угол между a и OZ.
i |
β |
y |
O |
х |
j |
γ |
k |
z |
α |
Ðα= Ð (a,i), Ðβ=Ð (a,j), Ðγ =Ð (a,k).
cos α= , cos β= , cos γ= .
Свойство направляющих косинусов:
cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ= 1.
Определение: Единичный вектор, имеющий своими координатами направляющие косинусы вектора a называется единичным вектором направления а и обозначается a0= (cosα, cosβ, cosγ).
а |
а0 |
Аналитическая геометрия.
Кривые второго порядка.
Общее уравнение . Будем рассматривать окружность, эллипс, гиперболу, параболу.
– Конец работы –
Используемые теги: Элементы, ной, векторной, алгебры, аналитической, геометрии0.091
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов