Расстояния между различными объектами в пространстве.
Расстояния между различными объектами в пространстве. - раздел Математика, Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии 1) Расстояние От Точки До Плоскости.
Найдем Расстояние От Т. ...
1) Расстояние от точки до плоскости.
Найдем расстояние от т. М0 (x0, y0, z0) до плоскости Ax+By+Cz+D=0. Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Проведем через М0 прямую, перпендикулярную плоскости. т. N0 – точка пересечения прямой и плоскости.
.
а) Составим параметрические уравнения прямой:
l= N= (A, B, C) ║прямой,
т. М0 (x0, y0, z0) Є прямой.
x= At+ x0
y= Bt+ y0.
z= Ct+ z0
б) т. N0 – общая для прямой и плоскости, поэтому подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем параметр, соответствующий т. N0:
A(At+ x0) + B(Bt+ y0) + C(Ct+ z0) + D=0;
(A2+ B2+ C2)t+ Ax0+ By0+ Cz0+ D=0;
,
координаты т. N0 .
в)
- расстояние от точки до плоскости.
2) Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
На одной плоскости нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до другой плоскости.
3) Расстояние между прямой и параллельной плоскостью.
На прямой нужно взять произвольную точку и найти расстояние от этой точки до плоскости.
а
α
4) Расстояние от точки до прямой.
т. М0 (3, 1, -1), прямая .
M0
N0
a
l
ρ
Проведем через т. М0 плоскость, перпендикулярную прямой (проектирующая плоскость). Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
.
а) Составим уравнение плоскости:
l= N= (1, 2, 0) ^ плоскости,
т. М0 (3, 1, -1) Є плоскости.
A(x- x0) + B(y- y0) + C(z- z0)= 0,
1(x- 3) + 2(y- 1) + 0(z+ 1)= 0,
x+ 2y- 5= 0 - уравнение плоскости.
б) Составим параметрические уравнения прямой:
x= t+ 1
y= 2t- 1
z= 0t- 3
в) т. N0 – точка пересечения прямой и плоскости. Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...
Линейные (векторные) пространства.
Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции:
1) сложение: для любых х, у Є L сумма
Размерность и базис линейного пространства.
Определение: Если в ЛП система, состоящая из n векторов ЛНЗ, а любая система с большим количеством векторов ЛЗ, то такое пространство называется n- мерным, а n
Теорема о разложении вектора по базису.
Теорема. Любой вектор ЛП разлагается, причем единственным образом, в ЛК базисных векторов этого пространства.
Док-во: Рассмотрим ЛП размерности n с базисом l1
Евклидово пространство.
Определение: Линейное пространство называется евклидовым, если в нем введена операция скалярного произведения, которая ставит в соответствие любым векторам х и
Декартовая система координат.
Рассмотрим три ненулевых, не коллинеарных вектора в пространстве l1, l2, l3- это базис ЛП V3. Приведем эти векторы к общему началу в точке О
Проекция вектора на ось.
Определение: Проекцией вектора на ось называется число, модуль которого равен проекции на эту ось отрезка, задающего вектор, причем число берется со знаком «+», если
Векторное произведение двух векторов.
Определение: Векторным произведением a´b векторов a и b называется третий вектор с, обладающий следующими свойствами:
1°
Смешанное произведение трех векторов.
Определение: Смешанным произведением трех векторов a, b, c, взятых в таком порядке называется число, равное (a´b)•с.
По определению: a
Плоскость в пространстве.
Определение: Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали к этой плоскости.
N= (A, B, C).
Пусть т.
Анализ общего уравнения.
1) А= 0, B, C, D ≠ 0, т.е. нет х, нормаль N=(0, B, C).
Скалярное произведение: N• i= 0· 1+ B· 0+ C· 0= 0. ⇒ N ^ i, N ^ OX.
Т.о. плос
Уравнение плоскости в отрезках.
Пусть плоскость отсекает на координатных осях отрезки a – на оси ОХ, b – на оси ОУ, с – на оси OZ.
Тогда т. А (а, 0, 0), т. В (0, b, 0), т. C (0,
Взаимное расположение двух плоскостей.
1) Плоскость (1) с уравнением параллельна плоскости (2) с уравнением .
Отсюда следует, что ║ . Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
- условие параллельности
Прямая в пространстве.
Определение: Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
l= (m; n; p) ║прямой.
Пу
Общее уравнение прямой в пространстве.
Прямая может быть задана в пространстве как линия пересечения плоскостей:
- общее уравнение прямой в пространстве.
Замечание: такое задание прямой не
Прямая на плоскости.
Аналогично тому, как выводились канонические уравнения прямой в пространстве выводятся канонические уравнения прямой на плоскости.
М (х, у)
Окружность.
Определение: Окружностью называют множество точек плоскости, удаленных от заданной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности).
Эллипс.
Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов), есть величина постоянная, р
Гипербола.
Определение: Гиперболой называют множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная,
Парабола.
Определение: Параболой называют множество точек плоскости, расстояние от каждой из которых до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (д
Сфера в пространстве.
Определение: Сферой называют множество точек пространства, равноудаленных от заданной точки (центр сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов